Questão 50 (2º semestre) da UFG 2014

Question

A técnica de pintura conhecida como pontilhismo, desenvolvida na França em meados do século XIX, principalmente por George Seraut e Paul Signac, utilizou princípios de óptica na realização de suas obras. Essa técnica consiste em pintar um grande número de pequenos pontos igualmente espaçados de cores primárias, tal que a ilusão da mistura de cores é produzida somente nos olhos do observador.

De acordo com o critério de Rayleigh, dois pontos são distinguidos pelo olho humano se estiverem separados por um ângulo dado pela relação \sen(\theta) = 1{,}22(\lambda/d), em que \lambda é o comprimento de onda da luz e d é o diâmetro da pupila.

$Esquema óptico mostrando dois pontos verticalmente alinhados separados por uma distância $\Delta x$ à esquerda e um olho humano à direita, a uma distância horizontal $D$ dos pontos. Duas linhas pontilhadas partem dos dois pontos e convergem na pupila do olho, formando um ângulo $\theta$ entre si.$

Considerando que, em média, d = 2{,}0\ \text{mm} e que, para ângulos pequenos, vale a relação \sen(\theta) \approx \tg(\theta) \approx \theta, a que distância mínima D, em metros, de uma pintura pontilhista um observador deve estar para observar a mistura de pontos, no caso da cor verde (\lambda = 500\ \text{nm}), se o espaçamento entre os pontos for de \Delta x = 1{,}22\ \text{mm}?

A
0,4
B
0,8
C
2,0
D
4,0
E
8,0

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 50 (2º semestre) da UFG 2014

2º semestre · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

A técnica de pintura conhecida como pontilhismo, desenvolvida na França em meados do século XIX, principalmente por George Seraut e Paul Signac, utilizou princípios de óptica na realização de suas obras. Essa técnica consiste em pintar um grande número de pequenos pontos igualmente espaçados de cores primárias, tal que a ilusão da mistura de cores é produzida somente nos olhos do observador.

De acordo com o critério de Rayleigh, dois pontos são distinguidos pelo olho humano se estiverem separados por um ângulo dado pela relação \sen(\theta) = 1{,}22(\lambda/d), em que \lambda é o comprimento de onda da luz e d é o diâmetro da pupila.

$Esquema óptico mostrando dois pontos verticalmente alinhados separados por uma distância $\Delta x$ à esquerda e um olho humano à direita, a uma distância horizontal $D$ dos pontos. Duas linhas pontilhadas partem dos dois pontos e convergem na pupila do olho, formando um ângulo $\theta$ entre si.$

Considerando que, em média, d = 2{,}0\ \text{mm} e que, para ângulos pequenos, vale a relação \sen(\theta) \approx \tg(\theta) \approx \theta, a que distância mínima D, em metros, de uma pintura pontilhista um observador deve estar para observar a mistura de pontos, no caso da cor verde (\lambda = 500\ \text{nm}), se o espaçamento entre os pontos for de \Delta x = 1{,}22\ \text{mm}?

A
0,4
B
0,8
C
2,0
D
4,0
E
8,0

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Pelo critério de Rayleigh, o olho só distingue dois pontos se o ângulo entre eles for maior ou igual a \theta. Para a mistura de cores acontecer, o observador não pode distinguir os pontos, então precisa estar a uma distância tal que o ângulo entre eles seja, no máximo, o ângulo de Rayleigh. A distância mínima corresponde à igualdade.

Ângulo de Rayleigh, com \lambda = 500\ \text{nm} = 5{,}0\times10^{-7}\ \text{m} e d = 2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}:

\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{d} = 1{,}22\cdot\frac{5{,}0\times10^{-7}}{2{,}0\times10^{-3}} = 1{,}22\cdot 2{,}5\times10^{-4} = 3{,}05\times10^{-4}\ \text{rad}

Pela figura, para ângulo pequeno, \theta \approx \tg\theta = \dfrac{\Delta x}{D}. Logo:

D = \frac{\Delta x}{\theta} = \frac{1{,}22\times10^{-3}}{1{,}22\cdot 2{,}5\times10^{-4}} = \frac{10^{-3}}{2{,}5\times10^{-4}} = 4{,}0\ \text{m}

Simplificando, o fator 1{,}22 cancela e sobra D = \Delta x\,d/\lambda.

A partir de 4{,}0\ \text{m} (ou mais longe) o ângulo entre os pontos fica menor que o limite de resolução do olho, e as cores se misturam.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AErra a potência de dez na conta, obtendo 0,4 m em vez de 4,0 m.
BResultado sem relação com a conta; pode vir de erro ao converter nm ou mm.
CAparece se usar d=1{,}0 mm (raio da pupila) em vez do diâmetro de 2,0 mm.
EResultado que dobra o valor correto, como se usasse d = 4{,}0 mm ou \lambda pela metade.

Assuntos: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização, Óptica da visão e instrumentos ópticos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 50 no caderno 1ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2014 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗