Questão 45 (2º semestre) da UFG 2013

Question

Um pêndulo é posto para oscilar quando sua haste forma um ângulo reto com a vertical. Após seis oscilações, o ângulo de amplitude máxima é de 60^\circ com a vertical, conforme ilustrado na figura.

Pêndulo de comprimento L preso a um suporte horizontal, oscilando ao longo de uma trajetória em arco tracejada, formando um ângulo de 60 graus com a linha vertical pontilhada.

Considerando-se que, a cada oscilação completa, a taxa de perda de energia pelo sistema seja constante, o valor dessa taxa será então de:

A
12^{-1}
B
6^{-1}
C
2^{-1/6}
D
1 - 2^{-1/6}
E
1 - 12^{-1}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 45 (2º semestre) da UFG 2013

2º semestre · Física: Energia mecânica e sua conservação

Um pêndulo é posto para oscilar quando sua haste forma um ângulo reto com a vertical. Após seis oscilações, o ângulo de amplitude máxima é de 60^\circ com a vertical, conforme ilustrado na figura.

Pêndulo de comprimento L preso a um suporte horizontal, oscilando ao longo de uma trajetória em arco tracejada, formando um ângulo de 60 graus com a linha vertical pontilhada.

Considerando-se que, a cada oscilação completa, a taxa de perda de energia pelo sistema seja constante, o valor dessa taxa será então de:

A
12^{-1}
B
6^{-1}
C
2^{-1/6}
D
1 - 2^{-1/6}
E
1 - 12^{-1}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

A energia do pêndulo nos pontos de amplitude máxima é puramente potencial gravitacional, E = mgh, medida a partir do ponto mais baixo.

Inicialmente a haste está na horizontal (90° com a vertical): h_i = L, então E_i = mgL.
Após seis oscilações o ângulo é 60°: h_f = L - L\cos 60^\circ = L - \dfrac{L}{2} = \dfrac{L}{2}, então E_f = \dfrac{mgL}{2}.
A razão entre as energias é \dfrac{E_f}{E_i} = \dfrac{1}{2}.

Se a taxa de perda por oscilação é constante, igual a x, a cada oscilação a energia fica multiplicada por (1-x). Depois de seis oscilações:

(1-x)^6 = \frac{1}{2}

1 - x = 2^{-1/6}

x = 1 - 2^{-1/6}

Portanto a taxa é uma perda percentual constante (progressão geométrica), e não uma perda constante em valor absoluto, o que daria \frac{1}{12}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem para em 2^{-1/6}: esse valor é a fração de energia que se conserva por oscilação, e a taxa de perda é o complemento.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe perda constante em valor absoluto (metade da energia dividida em 6 oscilações, 1/12 de E_i por oscilação), ignorando que a taxa é proporcional à energia restante.
BDivide a perda por 6 sem considerar a energia inicial nem a progressão geométrica.
CDá o fator de energia que permanece a cada oscilação, 1-x, e não a taxa de perda x.
EMistura a ideia de perda linear (1/12) com o complemento, sem base na relação (1-x)^6=1/2.

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Movimento harmônico simples e pêndulos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 45 no caderno 1ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2013 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗