Questão 52 da UFG 2004

Question

A chamada análise dimensional é uma técnica que permite detectar erros em equações que representam grandezas físicas. Usando esse instrumento, qual a equação dimensionalmente correta para o campo magnético ao longo do eixo de um solenóide?

Dados:
L = comprimento
i = corrente elétrica
D = diâmetro do fio
N = número de espiras
n = N/L
\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ Tm/A}

A
B = \dfrac{\mu_0 N i}{\sqrt{1 + D^2/L^2}}
B
B = \dfrac{\mu_0 n i}{\sqrt{1 + D/L^2}}
C
B = \dfrac{\mu_0 n i}{\sqrt{1 + D^2/L^2}}
D
B = \dfrac{\mu_0 N i}{\sqrt{1 + D^2/L}}
E
B = \dfrac{\mu_0 N i^2}{\sqrt{1 + D/L^2}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 da UFG 2004

Prova objetiva · Física: Unidades do SI e análise dimensional

A chamada análise dimensional é uma técnica que permite detectar erros em equações que representam grandezas físicas. Usando esse instrumento, qual a equação dimensionalmente correta para o campo magnético ao longo do eixo de um solenóide?

Dados:
L = comprimento
i = corrente elétrica
D = diâmetro do fio
N = número de espiras
n = N/L
\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ Tm/A}

A
B = \dfrac{\mu_0 N i}{\sqrt{1 + D^2/L^2}}
B
B = \dfrac{\mu_0 n i}{\sqrt{1 + D/L^2}}
C
B = \dfrac{\mu_0 n i}{\sqrt{1 + D^2/L^2}}
D
B = \dfrac{\mu_0 N i}{\sqrt{1 + D^2/L}}
E
B = \dfrac{\mu_0 N i^2}{\sqrt{1 + D/L^2}}

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Resolução comentada

A análise dimensional exige que o campo B tenha a dimensão de \mu_0 \cdot i / \text{comprimento}, pois a unidade de \mu_0 é \text{Tm/A}. Assim, \mu_0 i tem unidade de \text{T}\cdot\text{m}, e é preciso dividir por um comprimento para obter tesla.

Vamos checar os pontos que as alternativas testam:

O número de espiras N é adimensional, então \mu_0 N i tem unidade \text{T}\cdot\text{m}, e não \text{T}. Isso elimina A, D e E (esta também tem i^2, que muda a unidade).
Já n = N/L tem unidade \text{m}^{-1}, então \mu_0 n i tem unidade \text{Tm/A}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{A} = \text{T}. Está correto.
O denominador deve ser adimensional, pois soma 1 com outra grandeza. Então a grandeza somada ao 1 precisa ser adimensional. D^2/L^2 é razão de comprimentos ao quadrado, logo adimensional. Já D/L^2 tem unidade \text{m}^{-1}, o que não pode ser somado a 1 (alternativa B errada).

Portanto, a única expressão com numerador em tesla e denominador adimensional é

B = \frac{\mu_0 n i}{\sqrt{1 + D^2/L^2}}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa N (adimensional) no lugar de n, resultando em unidade \text{T}\cdot\text{m} em vez de tesla.
Bo termo D/L^2 tem dimensão \text{m}^{-1} e não pode ser somado ao número 1.
Dusa N em vez de n e o termo D^2/L tem dimensão de comprimento, não somável a 1.
Eusa N, i^2 e D/L^2, errando a dimensão do numerador e a do denominador.

Assunto: Unidades do SI e análise dimensional.

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Questão 52 no caderno 1ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2004 · 1ª etapa. Prova oficial ↗