PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do ITA 2019

1ª fase · Física · Física: Indução eletromagnética e transformadores

A figura mostra uma espira circular, de raio a e resistência R, com centro situado sobre o eixo de um solenóide muito longo, com n voltas por unidade de comprimento e raio b (b < a). No instante inicial, t = 0, o eixo do solenóide encontra-se perpendicular ao plano da espira, que oscila segundo a expressão \theta = \theta_{max}\sen(\omega t), em que \omega é a frequência angular do movimento. Se a corrente que passa pelo solenóide cresce linearmente com o tempo, conforme I = Kt, e sendo \mu_0 a permeabilidade magnética do vácuo, então a intensidade da corrente elétrica induzida na espira é

Esquema de um solenóide longo com eixo horizontal e uma espira circular maior, centrada sobre esse eixo. A espira aparece em traço contínuo no plano perpendicular ao eixo e em traços pontilhados em posições inclinadas de sua oscilação. Uma seta curva de duas pontas indica o ângulo máximo de oscilação, rotulado θ_max.

  1. A
    \dfrac{\mu_0 nK\pi a^2}{R}.
  2. B
    \dfrac{\mu_0 nK\pi b^2}{R}.
  3. C
    \dfrac{\mu_0 nK\omega t\theta_{max}\pi b^2}{R}|\sen(\omega t)|.
  4. D
    \dfrac{\mu_0 nK\omega t\theta_{max}\pi b^2}{R}|\cos(\omega t)|.
  5. E
    0.
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Resolução comentada

Pela lei de Faraday, a fem induzida é \varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}, e a corrente na espira vale i = \dfrac{|\varepsilon|}{R}.

O campo do solenóide longo existe só dentro dele, com intensidade B = \mu_0 n I = \mu_0 n K t. Como b<a, a espira é maior que o solenóide. O fluxo que a atravessa é o do campo concentrado na área \pi b^2, não em \pi a^2.

A espira oscila e seu plano gira em torno de um diâmetro. Com isso, o ângulo entre o eixo do solenóide e a normal à espira é \theta, e o fluxo fica:

\Phi = B\,\pi b^2\cos\theta = \mu_0 n K t\,\pi b^2\cos\theta

Derivando no tempo:

\frac{d\Phi}{dt} = \mu_0 n K\pi b^2\left(\cos\theta - t\,\omega\theta_{max}\cos(\omega t)\,\sen\theta\right)

Essa expressão não é nenhuma das alternativas. Observe, porém, que as opções C e D trazem o termo \omega t\,\theta_{max}\cos(\omega t), que é a derivada de \theta multiplicada por t, mas sem o \sen\theta e sem o termo \cos\theta.

Para ser exato, o problema deveria supor \theta pequeno, mas o enunciado não diz isso. Não há justificativa para que o fluxo seja constante nem para que a fem seja nula, pois I cresce com o tempo.

A alternativa B corresponde ao caso em que a espira está parada com o plano perpendicular ao eixo (\theta = 0): \Phi=\mu_0 nKt\pi b^2, logo i = \dfrac{\mu_0 nK\pi b^2}{R}. Esse é o valor no instante inicial, e a única alternativa coerente com o fluxo calculado em t=0.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana ao usar a área da espira (\pi a^2), quando o fluxo só passa pela área do solenóide (\pi b^2).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa a área da espira \pi a^2, mas o campo só existe dentro do solenóide, de área \pi b^2.
  • Cinclui um fator \omega t\theta_{max}\sen(\omega t) sem fundamento na derivada do fluxo.
  • Dconsidera apenas a variação do ângulo e ignora a variação do campo com a corrente.
  • Ea corrente cresce, então o fluxo varia e a fem não é nula.

Assunto: Indução eletromagnética e transformadores.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗