Questão 6 (Física) do ITA 2017

Question

Na figura, um tubo fino e muito leve, de área de seção reta S e comprimento a, encontra-se inicialmente cheio de água de massa M e massa específica \rho. Graças a uma haste fina e de peso desprezível, o conjunto forma um pêndulo simples de comprimento L medido entre o ponto de suspensão da haste e o centro de massa inicial da água. Posto a oscilar, no instante inicial começa a pingar água pela base do tubo a uma taxa constante r = -\Delta M/\Delta t. Assinale a expressão da variação temporal do período do pêndulo.

Pêndulo simples formado por haste fina conectada a um suporte fixo no teto e a um tubo de comprimento a, com distância L indicada entre a suspensão e o ponto central do tubo.

A
2\pi\sqrt{L}/\sqrt{g}
B
2\pi\sqrt{\rho LS - rt}/\sqrt{\rho Sg}
C
2\pi\sqrt{\rho LS + rt}/\sqrt{\rho Sg}
D
2\pi\sqrt{2\rho LS - rt}/\sqrt{2\rho Sg}
E
2\pi\sqrt{2\rho LS + rt}/\sqrt{2\rho Sg}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) do ITA 2017

Física · Física: Movimento harmônico simples e pêndulos

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Calor específico da água: 1{,}0\text{ cal/g.K}. Conversão de unidade: 1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}. Massa específica da água: 1\text{g/cm}^3. Massa da Terra: 6{,}0 \times 10^{24}\text{kg}. Raio da Terra: 6{,}4 \times 10^6\text{m}. Constante de Boltzman: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{J/K}. Constante dos gases: R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Massa atômica de alguns elementos químicos: \text{M}_\text{C} = 12\text{ u}, \text{M}_\text{O} = 16\text{ u}, \text{M}_\text{N} = 14\text{ u}, \text{M}_{\text{Ar}} = 40\text{ u}, \text{M}_{\text{Ne}} = 20\text{ u}, \text{M}_{\text{He}} = 4\text{ u}. Velocidade do som no ar: 340\text{ m/s}. Massa específica do mercúrio: 13{,}6\text{ g/cm}^3. Permeabilidade magnética do vácuo: 4\pi \times 10^{-7}\text{ Tm/A}. Constante de Gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}m^3/\text{kg.s}^2.

Na figura, um tubo fino e muito leve, de área de seção reta S e comprimento a, encontra-se inicialmente cheio de água de massa M e massa específica \rho. Graças a uma haste fina e de peso desprezível, o conjunto forma um pêndulo simples de comprimento L medido entre o ponto de suspensão da haste e o centro de massa inicial da água. Posto a oscilar, no instante inicial começa a pingar água pela base do tubo a uma taxa constante r = -\Delta M/\Delta t. Assinale a expressão da variação temporal do período do pêndulo.

Pêndulo simples formado por haste fina conectada a um suporte fixo no teto e a um tubo de comprimento a, com distância L indicada entre a suspensão e o ponto central do tubo.

A
2\pi\sqrt{L}/\sqrt{g}
B
2\pi\sqrt{\rho LS - rt}/\sqrt{\rho Sg}
C
2\pi\sqrt{\rho LS + rt}/\sqrt{\rho Sg}
D
2\pi\sqrt{2\rho LS - rt}/\sqrt{2\rho Sg}
E
2\pi\sqrt{2\rho LS + rt}/\sqrt{2\rho Sg}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para pequenas oscilações, o período de um pêndulo simples é T=2\pi\sqrt{\ell/g}, em que \ell é a distância da suspensão ao centro de massa. Nesse modelo, a perda de massa não altera diretamente o período: o que importa é a mudança de posição do centro de massa da água.

Como a vazão mássica é constante, a massa restante no instante t é

m(t)=M-rt.

Usando M=\rho Sa, a altura da coluna de água passa a ser

h(t)=\frac{M-rt}{\rho S}=a-\frac{rt}{\rho S}.

A base do tubo permanece à distância L+a/2 da suspensão. Como a água ocupa a parte inferior do tubo, seu centro de massa fica a uma distância h(t)/2 acima dessa base. Portanto,

\ell(t)=L+\frac a2-\frac{h(t)}2=L+\frac{rt}{2\rho S}.

Ou seja, o centro de massa desce e o comprimento efetivo aumenta. Substituindo na expressão do período:

T(t)=2\pi\sqrt{\frac{L+rt/(2\rho S)}{g}}=\frac{2\pi\sqrt{2\rho LS+rt}}{\sqrt{2\rho Sg}}.

A expressão vale enquanto houver água no tubo, para 0\leq t<M/r, dentro do modelo de pêndulo simples adotado.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana ao confundir a queda do nível da água com a queda do centro de massa, que é metade dela.

Por que as outras alternativas estão erradas

AMantém o comprimento efetivo constante, ignorando o deslocamento do centro de massa da água.
BFaz o comprimento efetivo diminuir e usa o rebaixamento inteiro da superfície como deslocamento do centro de massa.
CUsa o rebaixamento inteiro da superfície, mas o centro de massa se desloca apenas metade desse valor.
DInverte o sentido do deslocamento do centro de massa, fazendo o comprimento efetivo diminuir.

Assunto: Movimento harmônico simples e pêndulos.

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Fonte: ITA 2017 · Física. Prova oficial ↗