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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Física) do ITA 2014

Física · Física: Efeito Doppler

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

tacional universal. c: velocidade da luz no vácuo. \hbar: constante de Planck reduzida.

Uma amostra I de átomos de ^{57}\text{Fe}, cujos núcleos excitados emitem fótons devido a uma transição nuclear, está situada a uma altura d verticalmente acima de uma amostra II de ^{57}\text{Fe} que recebe a radiação emitida pela amostra I. Ao chegar a II, os fótons da amostra I sofrem um aumento de frequência devido à redução de sua energia potencial gravitacional, sendo, portanto, incapazes de excitar os núcleos de ^{57}\text{Fe} dessa amostra. No entanto, essa incapacidade pode ser anulada se a amostra I se afastar verticalmente da amostra II com uma velocidade v adequada. Considerando v \ll c e que a energia potencial gravitacional do fóton de energia \mathcal{E} pode ser obtida mediante sua “massa efetiva” \mathcal{E}/c^2, assinale a opção que explicita v. Se necessário, utilize (1 + x)^n \cong 1 + nx para x \ll 1.

  1. A
    \sqrt{gd}
  2. B
    gd/c
  3. C
    2\sqrt{gd}
  4. D
    2gd/c
  5. E
    gd\sqrt{gd}/c^2
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Resolução comentada

Conceito: o fóton tem "massa efetiva" m=\mathcal{E}/c^2. Ao descer a altura d, sua energia potencial diminui e a energia total se conserva, então a energia do fóton aumenta.

  1. Energia ao chegar em II: \mathcal{E}' = \mathcal{E} + \dfrac{\mathcal{E}}{c^2}\,g d = \mathcal{E}\left(1+\dfrac{gd}{c^2}\right).

  2. Como \mathcal{E}=h f, a frequência sobe na mesma proporção: f' = f\left(1+\dfrac{gd}{c^2}\right).

  3. Para a ressonância, a frequência que chega a II deve voltar a ser f (a da transição). Para isso, a fonte I se afasta com velocidade v, o que causa efeito Doppler com redução de frequência: f_{\text{Doppler}} = f\left(1-\dfrac{v}{c}\right), válido para v\ll c.

  4. A frequência final em II é f\left(1-\dfrac{v}{c}\right)\left(1+\dfrac{gd}{c^2}\right), que deve ser igual a f. Como v/c e gd/c^2 são pequenos, desprezamos o produto entre eles:

1-\frac{v}{c}+\frac{gd}{c^2}\cong 1
  1. Logo:
\frac{v}{c}=\frac{gd}{c^2}\;\Rightarrow\; v=\frac{gd}{c}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A\sqrt{gd} vem da velocidade de queda livre, que ignora a relação entre Doppler e o desvio gravitacional gd/c^2.
  • C2\sqrt{gd} também parte da velocidade de queda, sem ligação com o efeito Doppler e a frequência do fóton.
  • DO fator 2 não aparece: o desvio gravitacional é gd/c^2, não 2gd/c^2.
  • Egd\sqrt{gd}/c^2 tem dimensão errada e não iguala v/c a gd/c^2.

Assuntos: Efeito Doppler, Relatividade restrita.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Física do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Física. Prova oficial ↗