Questão 7 da FUVEST 2026

1ª fase

Considere a equação trigonométrica

sen\,\frac{\pi}{2} + sen\,x = sen\,(2x) - \cos\pi

para x \in \mathbb{R}, 0 \le x < 2\pi.

Um estudante resolveu essa equação da seguinte maneira:

\begin{gathered} sen\,\frac{\pi}{2} + sen\,x = sen\,(2x) - \cos\pi \\ 1 + sen\,x = sen\,(2x) + 1 \\ sen\,x = sen\,(2x) \\ sen\,x = 2sen\,x \\ 2sen\,x - sen\,x = 0 \\ sen\,x = 0 \\ x = 0 \text{ ou } x = \pi \end{gathered}

A resolução apresentada pelo estudante está errada, pois ele

  1. A
    considerou que \cos\pi vale 1.
  2. B
    não considerou as infinitas voltas no ciclo trigonométrico para a resposta.
  3. C
    considerou que \text{sen}\,\frac{\pi}{2} vale 1.
  4. D
    não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos.
  5. E
    apresentou duas respostas e não apenas uma.
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Resolução comentada

Vamos conferir cada passo do estudante.

  1. \text{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1 e \cos\pi = -1. Então -\cos\pi = +1, e a linha 1 + \text{sen}\,x = \text{sen}\,(2x) + 1 está correta.

  2. Cancelando o 1 dos dois lados: \text{sen}\,x = \text{sen}\,(2x). Também correto.

  3. O erro está na passagem seguinte: ele escreveu \text{sen}\,(2x) = 2\,\text{sen}\,x. Isso é falso, pois o seno não é linear. Pela fórmula do seno da soma de dois arcos:

\text{sen}\,(x+x) = \text{sen}\,x\cos x + \text{sen}\,x\cos x = 2\,\text{sen}\,x\cos x

O correto seria resolver:

\text{sen}\,x = 2\,\text{sen}\,x\cos x \Rightarrow \text{sen}\,x\,(1 - 2\cos x) = 0

Assim, \text{sen}\,x = 0 (dando x = 0 ou x = \pi) ou \cos x = \frac{1}{2} (dando x = \frac{\pi}{3} ou x = \frac{5\pi}{3}). O estudante perdeu essas duas últimas soluções.

As demais alternativas apontam passos que estão certos: os valores de \cos\pi e de \text{sen}\,\frac{\pi}{2} foram usados corretamente, e o intervalo 0 \le x < 2\pi já limita a uma volta.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO estudante usou -\cos\pi = 1, que é correto, pois \cos\pi = -1.
  • BO enunciado restringe x a 0 \le x < 2\pi, então não há voltas extras a considerar.
  • C\text{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1 está correto.
  • ETer duas respostas não é erro; a equação, na verdade, tem quatro soluções no intervalo.

Assuntos: equação trigonométrica, seno do arco duplo.

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