Questão 60 da FUVEST 2026

Question

Desde as primeiras descobertas, os buracos negros despertam enorme interesse da humanidade. Eles são caracterizados por regiões suficientemente densas e massivas em que o campo gravitacional é tão intenso que nada que esteja a distâncias inferiores a R_{\text{Sc}} do buraco negro consegue escapar de sua atração, nem a luz ou outras formas de radiação. Esse raio, também conhecido como raio de Schwarzschild, é expresso por R_{\text{Sc}} = 2GM/c^2, sendo G a constante de gravitação universal, M a massa do buraco negro e c a velocidade da luz.

Considere, por simplicidade, um buraco negro de massa igual à massa solar M_{\text{Sol}} = 2\times 10^{30}\text{ kg} e de raio igual a R_{\text{Sc}}. Nesse caso, a razão entre a densidade volumétrica de um buraco negro e a densidade volumétrica do Sol apresenta uma ordem de grandeza mais próxima de:

A
10^{-2}
B
10^4
C
10^{10}
D
10^{16}
E
10^{22}

Note e adote:
Suponha uniformes as densidades volumétricas do Sol e do buraco negro. Considere que o buraco negro e o Sol sejam esféricos e tenham distribuição de massa uniforme. G = 10^{-10}\text{ Nm}^2/\text{kg}^2 ; R_{\text{Sol}} = 10^9\text{ m} ; c = 3\times 10^8\text{ m/s}.

Answer 1

Questão 60 da FUVEST 2026

1ª fase

Desde as primeiras descobertas, os buracos negros despertam enorme interesse da humanidade. Eles são caracterizados por regiões suficientemente densas e massivas em que o campo gravitacional é tão intenso que nada que esteja a distâncias inferiores a R_{\text{Sc}} do buraco negro consegue escapar de sua atração, nem a luz ou outras formas de radiação. Esse raio, também conhecido como raio de Schwarzschild, é expresso por R_{\text{Sc}} = 2GM/c^2, sendo G a constante de gravitação universal, M a massa do buraco negro e c a velocidade da luz.

Considere, por simplicidade, um buraco negro de massa igual à massa solar M_{\text{Sol}} = 2\times 10^{30}\text{ kg} e de raio igual a R_{\text{Sc}}. Nesse caso, a razão entre a densidade volumétrica de um buraco negro e a densidade volumétrica do Sol apresenta uma ordem de grandeza mais próxima de:

A
10^{-2}
B
10^4
C
10^{10}
D
10^{16}
E
10^{22}

Note e adote:
Suponha uniformes as densidades volumétricas do Sol e do buraco negro. Considere que o buraco negro e o Sol sejam esféricos e tenham distribuição de massa uniforme. G = 10^{-10}\text{ Nm}^2/\text{kg}^2 ; R_{\text{Sol}} = 10^9\text{ m} ; c = 3\times 10^8\text{ m/s}.

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Resolução comentada

Como os dois corpos têm a mesma massa, a razão entre as densidades depende só dos volumes: \frac{\rho_{BN}}{\rho_{Sol}} = \frac{V_{Sol}}{V_{BN}} = \left(\frac{R_{Sol}}{R_{Sc}}\right)^3.

Raio de Schwarzschild do buraco negro de massa solar:

R_{Sc}=\frac{2GM}{c^2}=\frac{2\cdot 10^{-10}\cdot 2\times 10^{30}}{(3\times 10^8)^2}=\frac{4\times 10^{20}}{9\times 10^{16}}\approx 4{,}4\times 10^{3}\ \text{m}

Razão entre os raios:

\frac{R_{Sol}}{R_{Sc}}=\frac{10^9}{4{,}4\times 10^3}\approx 2{,}3\times 10^{5}

Elevando ao cubo (os volumes são proporcionais a R^3, e o fator \frac{4}{3}\pi se cancela):

\left(2{,}3\times 10^{5}\right)^3\approx 12\times 10^{15}\approx 1{,}2\times 10^{16}

A ordem de grandeza é 10^{16}. Faz sentido: um buraco negro com a massa do Sol caberia numa cidade de poucos quilômetros de raio, daí a densidade tão absurda.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece de elevar a razão dos raios ao cubo, pois a densidade depende do volume.

Por que as outras alternativas estão erradas

AInverte a razão, comparando a densidade do Sol com a do buraco negro, e ainda com expoente incorreto.
BNão corresponde a nenhuma conta correta; subestima enormemente a razão entre os raios elevada ao cubo.
CUsa só a razão dos raios (ou um expoente errado) em vez de elevá-la ao cubo corretamente.
ESuperestima a razão, por erro de potência ao calcular R_{Sc} ou ao elevar ao cubo.

Assuntos: raio de Schwarzschild, densidade, ordem de grandeza.

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