Questão 55 da FUVEST 2026

Question

Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número n (para n \in \mathbb{N}^*) é perfeito se, e somente se, for igual à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio). Relacionando números perfeitos e números primos, Euclides escreveu uma proposição em seu famoso livro “Elementos”: se 2^n - 1 é um número primo, então 2^{n-1}(2^n - 1) é um número perfeito. Considerando o que foi exposto, é correto afirmar:

A
Com exceção de n = 1, os 5 primeiros termos da sequência (a_n) = (2^n - 1) são números primos.
B
Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.
C
Os números 28 e 31 são números perfeitos.
D
Na proposição de Euclides, para n = 4, obtemos que 2^n - 1 não é primo, mas que 2^{n-1}(2^n - 1) é perfeito.
E
A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de (a_n) = (2^n - 1) é uma progressão aritmética de razão 2.

Answer 1

Questão 55 da FUVEST 2026

1ª fase

Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número n (para n \in \mathbb{N}^*) é perfeito se, e somente se, for igual à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio). Relacionando números perfeitos e números primos, Euclides escreveu uma proposição em seu famoso livro “Elementos”: se 2^n - 1 é um número primo, então 2^{n-1}(2^n - 1) é um número perfeito. Considerando o que foi exposto, é correto afirmar:

A
Com exceção de n = 1, os 5 primeiros termos da sequência (a_n) = (2^n - 1) são números primos.
B
Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.
C
Os números 28 e 31 são números perfeitos.
D
Na proposição de Euclides, para n = 4, obtemos que 2^n - 1 não é primo, mas que 2^{n-1}(2^n - 1) é perfeito.
E
A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de (a_n) = (2^n - 1) é uma progressão aritmética de razão 2.

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Resolução comentada

Número perfeito é aquele igual à soma de seus divisores positivos próprios. Vamos testar cada alternativa.

(A) Os termos de a_n = 2^n - 1 são: 1, 3, 7, 15, 31, \dots. Excluindo n=1, os 5 primeiros seriam n=2 a n=6: 3, 7, 15, 31, 63. Como 15 = 3\cdot 5 e 63 = 7\cdot 9, não são primos. Falsa.

(B) O primeiro número perfeito é 6 (divisores 1+2+3=6). A PG de razão 3 é 6, 18, 54, \dots, e todos os termos são 6\cdot 3^k, produto de um número par por um inteiro, logo pares. Verdadeira.

(C) Divisores próprios de 28: 1+2+4+7+14=28, então 28 é perfeito. Já 31 é primo, e a soma de seus divisores próprios é 1 \neq 31. Falsa.

(D) Para n=4: 2^4-1=15, que não é primo. A proposição de Euclides só garante perfeição quando 2^n-1 é primo, então 2^3\cdot 15 = 120 não é perfeito (seus divisores somam mais que 120; por exemplo, já 60+40+30+24=154>120). Falsa.

(E) As diferenças são a_{n+1}-a_n = 2^{n+1}-2^n = 2^n, ou seja, 2, 4, 8, \dots, que é uma PG de razão 2, não uma PA. Falsa.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

A15 e 63 aparecem entre os 5 primeiros termos (n=2 a 6) e não são primos.
C28 é perfeito, mas 31 é primo e sua soma de divisores próprios é 1.
DCom 2^4-1=15 não primo, a proposição não se aplica e 120 não é perfeito.
EAs diferenças são 2^n (2, 4, 8, ...), uma PG de razão 2, não uma PA.

Assuntos: números perfeitos, progressões, números primos.

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