Questão 4 da FUVEST 2026

Question

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia E de um sistema, a saber

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x)

em que P_i(x) é a probabilidade do i-ésimo resultado para a variável x.

Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha ({\color{cyan}\text{A}}{\color{red}\text{A}}). Se essas duas letras fossem colocadas numa urna, a probabilidade de se retirar, sem observar, a letra azul, como na sequência original, é \frac{1}{2}. Devolve-se a letra à urna e sorteia-se novamente. A probabilidade de sair vermelha é novamente \frac{1}{2}, e nesse caso tem-se:

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x) = - \left( {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} \right) = 1

Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas ({\color{cyan}\text{AA}}{\color{red}\text{AA}}), colocando-as numa urna e sorteando uma, a probabilidade de sair azul é \frac{1}{2}. Devolve-se a letra e sorteia-se novamente. A probabilidade da segunda letra sorteada ser azul, como na sequência original, é novamente \frac{1}{2}. Procedendo dessa forma para as duas letras vermelhas, tem-se:

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x)

= - \left( {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} \right) = 2

Com base nessas informações, qual o valor da entropia E , no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha ({\color{cyan}\text{AAA}}{\color{red}\text{A}})?

A
5 - \frac{9}{4} \log_2 3
B
\frac{1}{2} - \frac{5}{2} \log_2 3
C
\frac{3}{2}
D
\frac{9}{4} \log_2 3
E
3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 da FUVEST 2026

1ª fase · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia E de um sistema, a saber

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x)

em que P_i(x) é a probabilidade do i-ésimo resultado para a variável x.

Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha ({\color{cyan}\text{A}}{\color{red}\text{A}}). Se essas duas letras fossem colocadas numa urna, a probabilidade de se retirar, sem observar, a letra azul, como na sequência original, é \frac{1}{2}. Devolve-se a letra à urna e sorteia-se novamente. A probabilidade de sair vermelha é novamente \frac{1}{2}, e nesse caso tem-se:

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x) = - \left( {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} \right) = 1

Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas ({\color{cyan}\text{AA}}{\color{red}\text{AA}}), colocando-as numa urna e sorteando uma, a probabilidade de sair azul é \frac{1}{2}. Devolve-se a letra e sorteia-se novamente. A probabilidade da segunda letra sorteada ser azul, como na sequência original, é novamente \frac{1}{2}. Procedendo dessa forma para as duas letras vermelhas, tem-se:

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x)

= - \left( {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} \right) = 2

Com base nessas informações, qual o valor da entropia E , no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha ({\color{cyan}\text{AAA}}{\color{red}\text{A}})?

A
5 - \frac{9}{4} \log_2 3
B
\frac{1}{2} - \frac{5}{2} \log_2 3
C
\frac{3}{2}
D
\frac{9}{4} \log_2 3
E
3

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O exemplo mostra como aplicar a fórmula: cada letra da sequência contribui com um termo -P\log_2 P, e P é a probabilidade de sortear, na urna, a cor que essa letra tem na sequência original. Não se agrupam as cores iguais: cada posição conta separadamente.

Na sequência {\color{cyan}\text{AAA}}{\color{red}\text{A}}, a urna tem 3 letras azuis e 1 vermelha. Então:

Cada letra azul tem P=\frac{3}{4}, e são três termos iguais.
A letra vermelha tem P=\frac{1}{4}, e é um termo.

Montando a soma:

E = -\left(3\cdot\frac{3}{4}\log_2\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\log_2\frac{1}{4}\right)

Calculando os logaritmos:

\log_2\frac{3}{4} = \log_2 3 - 2
\log_2\frac{1}{4} = -2

Substituindo:

E = -\left(\frac{9}{4}(\log_2 3 - 2) - \frac{2}{4}\right) = -\frac{9}{4}\log_2 3 + \frac{18}{4} + \frac{2}{4}

E = 5 - \frac{9}{4}\log_2 3

Conferindo: \log_2 3\approx 1{,}585, então E\approx 5-3{,}566=1{,}43, valor coerente, entre 0 e 2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Berra o sinal e a soma das constantes, não resultando do cálculo correto dos termos -P\log_2 P.
Cvalor sem base no cálculo; ignora que os logaritmos de \frac{3}{4} envolvem \log_2 3.
Desquece a parcela 5, ou seja, o -2 de cada \log_2\frac{3}{4} e \log_2\frac{1}{4}.
Evalor sem base no cálculo, maior que a entropia real, que é cerca de 1{,}43.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Logaritmos e função logarítmica.

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