Questão 4 da FUVEST 2026

Question

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia E de um sistema, a saber

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x)

em que P_i(x) é a probabilidade do i-ésimo resultado para a variável x.

Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha ({\color{cyan}\text{A}}{\color{red}\text{A}}). Se essas duas letras fossem colocadas numa urna, a probabilidade de se retirar, sem observar, a letra azul, como na sequência original, é \frac{1}{2}. Devolve-se a letra à urna e sorteia-se novamente. A probabilidade de sair vermelha é novamente \frac{1}{2}, e nesse caso tem-se:

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x) = - \left( {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} \right) = 1

Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas ({\color{cyan}\text{AA}}{\color{red}\text{AA}}), colocando-as numa urna e sorteando uma, a probabilidade de sair azul é \frac{1}{2}. Devolve-se a letra e sorteia-se novamente. A probabilidade da segunda letra sorteada ser azul, como na sequência original, é novamente \frac{1}{2}. Procedendo dessa forma para as duas letras vermelhas, tem-se:

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x)

= - \left( {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} \right) = 2

Com base nessas informações, qual o valor da entropia E , no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha ({\color{cyan}\text{AAA}}{\color{red}\text{A}})?

A
5 - \frac{9}{4} \log_2 3
B
\frac{1}{2} - \frac{5}{2} \log_2 3
C
\frac{3}{2}
D
\frac{9}{4} \log_2 3
E
3

Answer 1

Questão 4 da FUVEST 2026

1ª fase

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia E de um sistema, a saber

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x)

em que P_i(x) é a probabilidade do i-ésimo resultado para a variável x.

Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha ({\color{cyan}\text{A}}{\color{red}\text{A}}). Se essas duas letras fossem colocadas numa urna, a probabilidade de se retirar, sem observar, a letra azul, como na sequência original, é \frac{1}{2}. Devolve-se a letra à urna e sorteia-se novamente. A probabilidade de sair vermelha é novamente \frac{1}{2}, e nesse caso tem-se:

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x) = - \left( {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} \right) = 1

Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas ({\color{cyan}\text{AA}}{\color{red}\text{AA}}), colocando-as numa urna e sorteando uma, a probabilidade de sair azul é \frac{1}{2}. Devolve-se a letra e sorteia-se novamente. A probabilidade da segunda letra sorteada ser azul, como na sequência original, é novamente \frac{1}{2}. Procedendo dessa forma para as duas letras vermelhas, tem-se:

E = - \sum_i P_i(x) \log_2 P_i(x)

= - \left( {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{cyan}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} + {\color{red}\frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2}} \right) = 2

Com base nessas informações, qual o valor da entropia E , no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha ({\color{cyan}\text{AAA}}{\color{red}\text{A}})?

A
5 - \frac{9}{4} \log_2 3
B
\frac{1}{2} - \frac{5}{2} \log_2 3
C
\frac{3}{2}
D
\frac{9}{4} \log_2 3
E
3

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