Questão 37 da FUVEST 2026

Question

Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma praça com o formato quadrado. Para a construção dos prédios, os engenheiros demarcaram os vértices da praça nos pontos A = (0,0), B = (8,0), C e D, em sistema de coordenadas cartesianas onde cada unidade corresponde a um metro.

Sabendo-se que a borda da seção circular de cada prédio tangencia cada lado do quadrado no seu ponto médio, qual deve ser a equação da circunferência do prédio que tem uma distância de 10 m do seu centro até o centro do quadrado e que passa pelo ponto de tangência P, conforme a figura?

Quatro circunferências tangenciam externamente os quatro lados de um quadrado de vértices A(0,0), B(8,0), C e D nos seus pontos médios. O ponto médio do segmento BC é identificado como P.

A
(x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 36
B
(x - 18)^2 + (y - 4)^2 = 100
C
(x - 8)^2 + (y - 24)^2 = 36
D
x^2 + y^2 = 36
E
(x - 4)^2 + (y - 24)^2 = 100

Answer 1

Questão 37 da FUVEST 2026

1ª fase

Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma praça com o formato quadrado. Para a construção dos prédios, os engenheiros demarcaram os vértices da praça nos pontos A = (0,0), B = (8,0), C e D, em sistema de coordenadas cartesianas onde cada unidade corresponde a um metro.

Sabendo-se que a borda da seção circular de cada prédio tangencia cada lado do quadrado no seu ponto médio, qual deve ser a equação da circunferência do prédio que tem uma distância de 10 m do seu centro até o centro do quadrado e que passa pelo ponto de tangência P, conforme a figura?

Quatro circunferências tangenciam externamente os quatro lados de um quadrado de vértices A(0,0), B(8,0), C e D nos seus pontos médios. O ponto médio do segmento BC é identificado como P.

A
(x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 36
B
(x - 18)^2 + (y - 4)^2 = 100
C
(x - 8)^2 + (y - 24)^2 = 36
D
x^2 + y^2 = 36
E
(x - 4)^2 + (y - 24)^2 = 100

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Resolução comentada

O quadrado tem lado 8 (pois A=(0,0) e B=(8,0)), então C=(8,8), D=(0,8) e o centro do quadrado é O=(4,4).

O ponto P é o ponto médio de BC, logo P=(8,4).

A circunferência do prédio da direita tangencia o lado BC em P e fica fora do quadrado. Numa tangente, o raio até o ponto de tangência é perpendicular ao lado. Como BC é vertical, o raio é horizontal, e o centro fica na reta y=4, à direita de P.

O centro da circunferência é (x_c,4) e está a 10 m do centro do quadrado:

x_c-4=10, então x_c=14.
O raio é a distância do centro a P: r=14-8=6.

A equação fica:

(x-14)^2+(y-4)^2=36

Conferindo: a distância de (14,4) a P=(8,4) é 6, igual ao raio, e a circunferência toca o lado BC só em P.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem toma os 10 m (distância entre centros) como raio, em vez de calcular o raio como 14 − 8 = 6.

Por que as outras alternativas estão erradas

Busa centro (18,4) e raio 10, confundindo a distância ao centro do quadrado com o raio.
Ccoloca o centro em (8,24), fora da posição correta, que fica na reta y=4 à direita de P.
Dé uma circunferência centrada na origem, que não passa por P nem fica a 10 m do centro do quadrado.
Eusa centro (4,24) e raio 10, sem relação com a tangência em P.

Assuntos: equação da circunferência, geometria analítica, tangência.

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