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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

No Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo, encontra-se a regulamentação para vagas de estacionamento em um edifício para diferentes tipos de veículos. De acordo com o código, as dimensões de uma vaga de estacionamento são estabelecidas de acordo com o tipo de veículo, conforme a seguinte tabela:

Tabela: Dimensões das vagas de estacionamento em função do tipo de veículo (medidas em metros).

Tipos de veículos Vagas para estacionamento
Largura Comprimento
Automóvel 2,20 4,50
Carro para pessoa com deficiência 3,70 5,00
Moto 1,00 2,00
Utilitário 2,50 5,50
Caminhão leve 3,10 8,00

Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo. Adaptado.

Na figura a seguir, é apresentada parte de um projeto de garagem para um edifício. Foram projetadas vagas para automóveis e uma vaga para moto, no formato de paralelogramo, com ângulo \alpha de medida 60^\circ.

Esquema da garagem mostrando duas vagas para automóveis e uma para moto em forma de paralelogramo com ângulo alfa de 60 graus. À direita da vaga de moto, há um segmento tracejado em vermelho perpendicular à parede vertical no final da garagem.

Após a vaga da moto, restou um espaço na garagem. Os responsáveis pela obra estão avaliando a possibilidade de colocar algum objeto que possa ser utilizado pelos condôminos do edifício. Qual a medida do segmento destacado (tracejado) nesse espaço?

  1. A
    0,75 m
  2. B
    1,15 m
  3. C
    1,25 m
  4. D
    2,20 m
  5. E
    2,25 m

Note e adote:

\cos (60^\circ) = 0{,}5 ; \sen (60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

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Resolução comentada

Na figura, a parede de cima e a linha de baixo (meio-fio da vaga) são paralelas. A largura de cada vaga é medida sobre essas linhas horizontais, e o comprimento é o lado inclinado, que forma 60^\circ com a horizontal.

Primeiro, veja o que a largura do automóvel ocupa na linha de baixo. A tabela dá largura 2{,}20 m, medida na horizontal no alto da vaga. Como a vaga é um paralelogramo, a base inferior também mede 2{,}20 m.

Na figura, o espaço horizontal entre a parede da direita e o início da vaga do automóvel mais à direita é a soma de duas partes: a vaga da moto e o segmento tracejado.

A vaga do automóvel tem lado inclinado de 4{,}50 m. Sua projeção horizontal é

4{,}50\cdot\cos 60^\circ = 2{,}25\ \text{m}.

No alto, a parede da direita fecha o espaço exatamente no fim da segunda vaga de automóvel. Portanto, na linha de baixo, esse fim está deslocado 2{,}25 m para a esquerda da parede, já que a vaga "deita" para a esquerda.

Assim, o trecho de baixo, da parede até o início da vaga de automóvel mais à direita, mede:

  1. Base do automóvel: 2{,}20 m, mais a projeção 2{,}25 m, dá a posição do canto inferior direito da vaga: 2{,}25 m da parede.
  2. A vaga da moto ocupa, na linha de baixo, a largura 1{,}00 m, e seu lado de 2{,}00 m projeta 2{,}00\cdot 0{,}5 = 1{,}00 m.
  3. A moto começa onde termina a vaga do automóvel, a 2{,}25 m da parede. Ela termina em 2{,}25-1{,}00 = 1{,}25 m da parede.

O tracejado vai da parede até o fim da vaga da moto: 1{,}25 m.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai a largura da moto e uma projeção de forma incorreta, chegando a um valor menor que o real.
  • BUsa a altura do paralelogramo (\sen 60^\circ) em vez da projeção horizontal com o cosseno.
  • DUsa a largura do automóvel (2{,}20 m) sem considerar a inclinação.
  • EPara na projeção horizontal do automóvel (2{,}25 m) e esquece de descontar a vaga da moto.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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