Questão 36 da FUVEST 2023

Question

Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões \frac{9}{8} e \frac{256}{243}. A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de \frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{64}.

Teclado musical ilustrando uma oitava com as razões de frequência indicadas abaixo das teclas: 9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 9/8 e 256/243

Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de 220\ \text{Hz} e outra de 990\ \text{Hz} é composto por n tons e m semitons, a soma m + n é igual a:

A
13
B
14
C
15
D
16
E
17

Answer 1

Questão 36 da FUVEST 2023

1ª fase

Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões \frac{9}{8} e \frac{256}{243}. A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de \frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{64}.

Teclado musical ilustrando uma oitava com as razões de frequência indicadas abaixo das teclas: 9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 9/8 e 256/243

Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de 220\ \text{Hz} e outra de 990\ \text{Hz} é composto por n tons e m semitons, a soma m + n é igual a:

A
13
B
14
C
15
D
16
E
17

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Resolução comentada

A razão entre as frequências é \frac{990}{220}=\frac{9}{2}. Como somar intervalos equivale a multiplicar razões, precisamos de:

\left(\frac{9}{8}\right)^n\cdot\left(\frac{256}{243}\right)^m=\frac{9}{2}

Fatorando: \frac{9}{8}=\frac{3^2}{2^3} e \frac{256}{243}=\frac{2^8}{3^5}. Então:

\frac{3^{2n}}{2^{3n}}\cdot\frac{2^{8m}}{3^{5m}}=3^{2n-5m}\cdot 2^{8m-3n}

O lado direito é \frac{9}{2}=3^2\cdot 2^{-1}. Igualando os expoentes (a fatoração em primos é única):

Expoente de 3: 2n-5m=2
Expoente de 2: 8m-3n=-1

Da primeira: n=\frac{2+5m}{2}. Substituindo na segunda: 8m-\frac{3(2+5m)}{2}=-1, ou seja, 16m-6-15m=-2, logo m=4.

Então 2n=2+20=22, e n=11.

Verificação do expoente de 2: 8\cdot4-3\cdot11=32-33=-1 ✓.

Portanto m+n=4+11=15.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AResulta de um erro na resolução do sistema de expoentes; não satisfaz as duas equações.
BNão satisfaz as duas equações dos expoentes de 2 e de 3.
DNão satisfaz as duas equações dos expoentes de 2 e de 3.
ENão satisfaz as duas equações dos expoentes de 2 e de 3.

Assuntos: razões, sistema linear, fatoração em primos.

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