Questão 67 da FUVEST 2015

Question

Ilustração de teclas de um piano, com as teclas brancas identificadas da esquerda para a direita como Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si e Dó, e as teclas pretas correspondentes identificadas como Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá# e Dó#.

A figura acima mostra parte do teclado de um piano. Os valores das frequências das notas sucessivas, incluindo os sustenidos, representados pelo símbolo #, obedecem a uma progressão geométrica crescente da esquerda para a direita; a razão entre as frequências de duas notas Dó consecutivas vale 2; a frequência da nota Lá do teclado da figura é 440\text{ Hz}. O comprimento de onda, no ar, da nota Sol indicada na figura é próximo de

Note e adote:
2^{1/12} = 1{,}059
(1{,}059)^2 = 1{,}12
velocidade do som no ar = 340\text{ m/s}

A
0{,}56\text{ m}
B
0{,}86\text{ m}
C
1{,}06\text{ m}
D
1{,}12\text{ m}
E
1{,}45\text{ m}

Answer 1

Questão 67 da FUVEST 2015

1ª fase

Ilustração de teclas de um piano, com as teclas brancas identificadas da esquerda para a direita como Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si e Dó, e as teclas pretas correspondentes identificadas como Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá# e Dó#.

A figura acima mostra parte do teclado de um piano. Os valores das frequências das notas sucessivas, incluindo os sustenidos, representados pelo símbolo #, obedecem a uma progressão geométrica crescente da esquerda para a direita; a razão entre as frequências de duas notas Dó consecutivas vale 2; a frequência da nota Lá do teclado da figura é 440\text{ Hz}. O comprimento de onda, no ar, da nota Sol indicada na figura é próximo de

Note e adote:
2^{1/12} = 1{,}059
(1{,}059)^2 = 1{,}12
velocidade do som no ar = 340\text{ m/s}

A
0{,}56\text{ m}
B
0{,}86\text{ m}
C
1{,}06\text{ m}
D
1{,}12\text{ m}
E
1{,}45\text{ m}

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Resolução comentada

As frequências das notas sucessivas formam uma PG. Entre duas notas Dó consecutivas há 12 passos (7 teclas brancas e 5 pretas por oitava), e a frequência dobra. Então q^{12}=2, ou seja, q=2^{1/12}=1{,}059.

Pela figura, a ordem das teclas é: Sol, Sol#, Lá. O Sol está dois passos antes do Lá, então:

f_{Lá}=f_{Sol}\cdot q^2

f_{Sol}=\dfrac{f_{Lá}}{q^2}=\dfrac{440}{1{,}12}\approx 393\ \text{Hz}

O comprimento de onda vem da relação v=\lambda f:

\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{340}{393}\approx 0{,}865\ \text{m}

O valor mais próximo é 0{,}86\ \text{m}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa frequência errada (cerca de 607 Hz), por exemplo multiplicando 440 por 1,12 ou 1,059 em vez de dividir; o valor não corresponde a nenhuma nota coerente.
CUsa a frequência de um passo abaixo do Lá (Sol#, cerca de 415 Hz) gerando 0,82 m, ou erra a conta; não chega a 1,06 m com o Sol correto.
DUsa o valor 1,12 como se fosse o comprimento de onda, sem dividir a velocidade pela frequência.
EMultiplica a frequência do Lá por 1,12 em vez de dividir, ou inverte a relação entre λ e f.

Assuntos: progressão geométrica, ondas sonoras, equação fundamental da ondulatória.

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