Questão 6 da FUVEST 2007

1ª fase

Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou com 100 indivíduos. Admite-se que a taxa de mortalidade das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira hora, são:

Tempo decorrido (minutos) Número de bactérias
0 100
20 200
40 400
60 800

Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do experimento, a população de bactérias será de

  1. A
    51.200
  2. B
    102.400
  3. C
    409.600
  4. D
    819.200
  5. E
    1.638.400
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Resolução comentada

A tabela mostra que a população dobra a cada 20 minutos. Isso é uma progressão geométrica de razão 2, ou seja, crescimento exponencial: N = 100\cdot 2^{n}, em que n é o número de períodos de 20 minutos.

Passo a passo:

  1. Converta o tempo: 4 horas = 4\cdot 60 = 240 minutos.
  2. Conte quantos períodos de 20 minutos cabem nele: n = \dfrac{240}{20} = 12.
  3. Aplique a fórmula: N = 100\cdot 2^{12}.
  4. Calcule a potência: 2^{10}=1024, então 2^{12}=1024\cdot 4 = 4096.
  5. Multiplique: N = 100\cdot 4096 = 409\,600.

Conferindo com a tabela: em 60 minutos, n=3 e 100\cdot 2^3 = 800, valor que bate com o dado.

Após 4 horas, a população será de 409.600 bactérias.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só 9 períodos de 20 minutos (100\cdot 2^9), e não 12.
  • BUsa 10 períodos (100\cdot 2^{10}), contando períodos a menos.
  • DUsa 13 períodos (100\cdot 2^{13}), um período a mais.
  • EUsa 14 períodos (100\cdot 2^{14}), períodos a mais.

Assuntos: progressão geométrica, função exponencial.

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