Questão 19 da FUVEST 2007

1ª fase

Um centro de pesquisa nuclear possui um cíclotron que produz radioisótopos para exames de tomografia. Um deles, o Flúor-18 (^{18}\text{F}), com meia-vida de aproximadamente 1h30min, é separado em doses, de acordo com o intervalo de tempo entre sua preparação e o início previsto para o exame. Se o frasco com a dose adequada para o exame de um paciente A, a ser realizado 2 horas depois da preparação, contém N_\text{A} átomos de ^{18}\text{F}, o frasco destinado ao exame de um paciente B, a ser realizado 5 horas depois da preparação, deve conter N_\text{B} átomos de ^{18}\text{F}, com

A meia vida de um elemento radioativo é o intervalo de tempo após o qual metade dos átomos inicialmente presentes sofreram desintegração.

  1. A
    N_\text{B} = 2\ N_\text{A}
  2. B
    N_\text{B} = 3\ N_\text{A}
  3. C
    N_\text{B} = 4\ N_\text{A}
  4. D
    N_\text{B} = 6\ N_\text{A}
  5. E
    N_\text{B} = 8\ N_\text{A}
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Resolução comentada

Cada dose deve chegar ao exame com a mesma quantidade de átomos de ^{18}\text{F}, então o frasco precisa começar com mais átomos quanto maior for o tempo de espera, por causa do decaimento.\n\nA quantidade que sobra após um tempo t é\n\n

N = N_0 \cdot 2^{-t/T}
\n\nonde T = 1{,}5\ \text{h} é a meia-vida. Chamando de N_f a quantidade necessária no momento do exame, o frasco inicial deve ter N_0 = N_f \cdot 2^{t/T}.\n\n1. Paciente A: t = 2\ \text{h}, então t/T = \dfrac{2}{1{,}5} = \dfrac{4}{3} e N_\text{A} = N_f \cdot 2^{4/3}.\n2. Paciente B: t = 5\ \text{h}, então t/T = \dfrac{5}{1{,}5} = \dfrac{10}{3} e N_\text{B} = N_f \cdot 2^{10/3}.\n3. Dividindo:\n\n
\frac{N_\text{B}}{N_\text{A}} = 2^{10/3 - 4/3} = 2^{2} = 4
\n\nPortanto, N_\text{B} = 4\,N_\text{A}.\n\nOutra forma de ver: B espera 3\ \text{h} a mais que A, que são exatamente 2 meias-vidas. A quantidade cai à metade duas vezes, isto é, fica dividida por 4, então B precisa começar com 4 vezes mais átomos.\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera apenas uma meia-vida de diferença, quando a diferença de 3 h equivale a duas.
  • Bnão corresponde a nenhuma potência de 2, resultado de uma conta sem base na lei do decaimento.
  • Dnão é potência de 2; ignora que cada meia-vida multiplica a quantidade por 2.
  • Eusa três meias-vidas de diferença, quando são duas (3 h ÷ 1,5 h).

Assuntos: meia-vida, decaimento radioativo.

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