Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2023
Duas empresas de entrega de mercadorias, A e B, são concorrentes. A empresa A cobra R$ 4,00 por quilo da encomenda e mais R$ 30,00 de taxa fixa. Já a tarifa da empresa B é de R$ 6,00 por quilo, sem taxa fixa, para encomendas de até 30 quilos; para encomendas de mais de 30 quilos, a empresa B cobra R$ 2,00 por quilo, mais uma taxa fixa de R$ 120,00.
a) Dê a expressão da função que descreve a tarifa cobrada pela empresa A em termos do peso x da encomenda.
b) Para qual intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa A do que pela empresa B?
c) Um cliente solicitou duas encomendas: uma entregue pela empresa A, e outra, pela empresa B, com peso total de 200 quilos. Quais são as possíveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas, sabendo que a tarifa de entrega total foi de R$ 850,00?
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Resolução comentada
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a)
O custo da entrega tem duas parcelas: uma que depende do peso e outra que é fixa. Para uma encomenda de x quilogramas, a parcela variável é 4x reais. A taxa fixa é somada a esse valor uma única vez, independentemente do peso.
Assim, a tarifa é uma função afim de x, cujo coeficiente angular é 4 e cujo termo constante é 30. Considerando x\geq 0, temos:
T_A(x)=4x+30, com x em quilogramas e T_A(x) em reais.
b)
Para que a empresa A seja mais barata, precisamos de T_A(x)<T_B(x). Como a tarifa de B muda conforme o peso, analisamos dois casos.
Para encomendas de até 30\ \text{kg}:
Combinando essa condição com x\leq 30, obtemos 15<x\leq 30.
Para encomendas de mais de 30\ \text{kg}:
Combinando com x>30, obtemos 30<x<45. A união dos dois intervalos inclui 30\ \text{kg}, mas exclui 15\ \text{kg} e 45\ \text{kg}, pois nesses extremos as tarifas são iguais.
A empresa A é mais barata para 15<x<45, com x em quilogramas.
c)
Seja y o peso, em quilogramas, entregue pela empresa B. Como o peso total é 200\ \text{kg}, a empresa A entrega 200-y quilogramas. Devemos considerar as duas faixas de cobrança de B.
Para 0<y\leq 30, o custo total é:
Simplificando:
Esse valor pertence à faixa considerada. Portanto, A entrega 190\ \text{kg} e B entrega 10\ \text{kg}. Os custos são R$ 790,00 e R$ 60,00, respectivamente.
Para y>30, temos:
Logo:
Esse valor também é compatível com sua faixa. Nesse caso, A entrega 150\ \text{kg} e B entrega 50\ \text{kg}, com custos de R$ 630,00 e R$ 220,00. Ambas as distribuições totalizam R$ 850,00.
As possibilidades são: 190\ \text{kg} pela empresa A e 10\ \text{kg} pela empresa B; ou 150\ \text{kg} por A e 50\ \text{kg} por B.
Assuntos: função afim, função definida por partes, inequações.
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