Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2019

2º dia · Matemática

Plano cartesiano com o quadrado OABC no primeiro quadrante, apoiado nos eixos com vértice O na origem, A no eixo x e C no eixo y. Acima do quadrado, no eixo y, situa-se o segmento CE, sobre o qual está construído o triângulo equilátero CDE no primeiro quadrante.

Na figura, OABC é um quadrado e CDE é um triângulo equilátero tal que OC = CE = 2.

a) Determine a equação da reta que passa por E e por A.

b) Determine a equação da reta que passa por D e é perpendicular à reta \overleftrightarrow{AE}.

c) Determine um ponto P no segmento OA, de modo que a reta que passa por E e por P divida o quadrado em duas regiões, de tal forma que a área da região que contém o segmento OC seja o dobro da área da outra região.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Pela figura, O(0,0), A(2,0), B(2,2), C(0,2) e E(0,4), pois OC = CE = 2.

O coeficiente angular da reta AE é

m=\frac{4-0}{0-2}=-2.

A reta corta o eixo y em E(0,4). Logo

y=-2x+4.

Resposta: y=-2x+4.

b) Primeiro achamos D. O triângulo CDE é equilátero de lado 2 e D fica à direita do eixo y. Então D está na mediatriz de CE, ou seja, na altura y=3. Sua distância ao eixo y é a altura do triângulo, \frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3. Assim, D(\sqrt3,\,3).

Uma reta perpendicular a AE tem coeficiente angular -\frac{1}{-2}=\frac12. Passando por D:

y-3=\frac12\,(x-\sqrt3)\;\Rightarrow\; y=\frac{x}{2}+3-\frac{\sqrt3}{2}.

Resposta: y=\dfrac{x}{2}+3-\dfrac{\sqrt3}{2}, ou seja, x-2y+6-\sqrt3=0.

c) Seja P(p,0) com 0\le p\le 2. A reta EP passa por (0,4) e (p,0). Em y=2 (lado CB), ela tem x=\frac p2. Portanto ela corta CB no ponto Q\left(\frac p2,2\right).

A região que contém OC é o trapézio OPQC, com bases OP=p e CQ=\frac p2 e altura 2:

A_1=\frac{\left(p+\frac p2\right)}{2}\cdot 2=\frac{3p}{2}.

A outra região tem área A_2=4-\frac{3p}{2}. A condição A_1=2A_2 dá

\frac{3p}{2}=8-3p\;\Rightarrow\;\frac{9p}{2}=8\;\Rightarrow\;p=\frac{16}{9}.

Como \frac{16}{9}<2, o ponto está em OA. Conferindo: A_1=\frac83 e A_2=\frac43, e de fato A_1=2A_2.

Resposta: P=\left(\dfrac{16}{9},\,0\right).

Assuntos: geometria analítica, equação da reta, áreas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão M02 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2019