Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2019

2º dia · Matemática

Resolva os três itens abaixo.

a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão.

b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4.

c) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(2n + 1), qualquer que seja n \ge 1. Encontre o vigésimo termo dessa progressão.

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Resolução comentada

a) Numa PG, a_3 = a_1 \cdot q^2. Então 45 = 5q^2, ou seja, q^2 = 9. Como a razão é positiva, q = 3.

A soma dos n primeiros termos de uma PG é S_n = a_1\,\dfrac{q^n - 1}{q - 1}. Para n = 6:

S_6 = 5\cdot\frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 5\cdot\frac{728}{2} = 1820

S_6 = 1820

b) Vamos somar todos os inteiros de 1 a 111 e tirar os múltiplos de 4.

  1. Soma de 1 a 111, que é uma PA: \dfrac{111\cdot 112}{2} = 6216.
  2. Múltiplos de 4 menores que 112: 4, 8, \dots, 108. São 108/4 = 27 termos, e a soma é 4\,(1 + 2 + \dots + 27) = 4\cdot\dfrac{27\cdot 28}{2} = 4\cdot 378 = 1512.
  3. Soma pedida: 6216 - 1512 = 4704.

4704

c) O termo de ordem n é a diferença entre duas somas consecutivas: a_n = S_n - S_{n-1}, para n \ge 2. Aqui S_n = 2n^2 + n, então

a_{20} = S_{20} - S_{19} = (2\cdot 400 + 20) - (2\cdot 361 + 19) = 820 - 741 = 79

Conferência: a_n = 2n^2 + n - [2(n-1)^2 + (n-1)] = 4n - 1, e 4\cdot 20 - 1 = 79. Também a_1 = S_1 = 3, que coincide com a fórmula, e a razão é 4.

a_{20} = 79

Assuntos: progressão geométrica, progressão aritmética, soma de termos.

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