Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2017

O centro de um disco de raio 1 é colocado no ponto C = (0,1) do plano cartesiano Oxy. Uma das extremidades de um fio de espessura desprezível e comprimento 3 é fixada na origem O e a outra extremidade está inicialmente no ponto (3,0). Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento, enrola-se, no sentido anti-horário, parte dele em torno do disco, de modo que a parte enrolada do fio seja um arco OP da circunferência que delimita o disco. A medida do ângulo O\widehat{C}P, em radianos, é denotada por \theta. A parte não enrolada do fio é um segmento retilíneo \overline{PQ} que tangencia o disco no ponto P.

A figura da página de respostas ilustra a situação descrita.

a) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento \overline{PQ} for paralelo ao eixo y.

b) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento \overline{PQ} for paralelo à reta de equação y = x.

c) Encontre uma expressão para as coordenadas do ponto Q em função de \theta, para \theta no intervalo \left[0, \frac{\pi}{2}\right].