Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2017

Question

Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de lado x\text{ cm} de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura x\text{ cm}. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas.

Esquema da folha de papel retangular de dimensões 20 por 16 com quatro quadrados de lado x marcados nos cantos e linhas tracejadas indicando as dobras para a montagem da caixa.

a) Expresse o volume da caixa em função de x.

b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o volume da caixa é maior ou igual a 384\text{ cm}^3.

Answer 1

Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2017

3º dia · Matemática

Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de lado x\text{ cm} de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura x\text{ cm}. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas.

Esquema da folha de papel retangular de dimensões 20 por 16 com quatro quadrados de lado x marcados nos cantos e linhas tracejadas indicando as dobras para a montagem da caixa.

a) Expresse o volume da caixa em função de x.

b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o volume da caixa é maior ou igual a 384\text{ cm}^3.

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Resolução comentada

a) Ao tirar quadrados de lado x dos quatro cantos e dobrar, a altura da caixa é x. A largura da base fica 16-2x e o comprimento fica 20-2x, pois sai um x de cada extremidade. Para a caixa existir, 0<x<8.

V(x)=x(20-2x)(16-2x)

Desenvolvendo:

(20-2x)(16-2x)=4x^2-72x+320 \Rightarrow V(x)=4x^3-72x^2+320x

V(x)=x(20-2x)(16-2x)=4x^3-72x^2+320x, com 0<x<8.

b) Queremos V(x)\ge 384:

4x^3-72x^2+320x-384\ge 0 \iff x^3-18x^2+80x-96\ge 0

Testando x=2: 8-72+160-96=0, então 2 é raiz.
Dividindo por (x-2): x^3-18x^2+80x-96=(x-2)(x^2-16x+48).
As raízes de x^2-16x+48 são 4 e 12.

Logo a desigualdade é (x-2)(x-4)(x-12)\ge 0.

Análise de sinal, lembrando que 0<x<8 (então x-12<0):

x<2: o produto é negativo.
2\le x\le 4: (x-2)\ge0, (x-4)\le 0 e (x-12)<0, então o produto é maior ou igual a zero.
4<x<8: (x-2)>0, (x-4)>0 e (x-12)<0, então o produto é negativo.

Conferindo os extremos: V(2)=2\cdot16\cdot12=384 e V(4)=4\cdot12\cdot8=384.

Conjunto: \{x\in\mathbb{R}\mid 2\le x\le 4\}, ou seja, [2,4].

Assuntos: volume de paralelepípedo, inequação polinomial do 3º grau.

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