Questão 16 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2017

Question

A determinação da massa da molécula de insulina é parte do estudo de sua estrutura. Para medir essa massa, as moléculas de insulina são previamente ionizadas, adquirindo, cada molécula, a carga de um elétron. Esses íons (I) são liberados com velocidade inicial nula a partir de uma amostra submetida a um potencial V = -20\text{ kV}. Os íons são acelerados devido à diferença de potencial entre a amostra e um tubo metálico, em potencial nulo, no qual passam a se mover com velocidade constante. Para a calibração da medida, adiciona-se à amostra um material padrão cujas moléculas também são ionizadas, adquirindo, cada uma, a carga de um elétron; esses íons (P) têm massa conhecida igual a 2846 u. A situação está esquematizada na figura.

Esquema experimental mostrando uma amostra em potencial V = -20 kV liberando íons através de uma abertura para o interior de um tubo metálico de comprimento L em potencial nulo. À direita, a legenda identifica círculos maiores com setas como Insulina (I) e círculos menores com setas como Padrão (P), ambos deslocando-se para a direita.

a) Determine a energia cinética E dos íons, quando estão dentro do tubo.

O gráfico na página de respostas mostra o número N de íons em função do tempo t despendido para percorrerem o comprimento L do tubo. Determine

b) a partir dos tempos indicados no gráfico, a razão R_v = \frac{v_I}{v_P} entre os módulos das velocidades v_I, de um íon de insulina, e v_P, de um íon P, em movimento dentro do tubo;

c) a razão R_m = \frac{m_I}{m_P} entre as massas m_I e m_P, respectivamente, de um íon de insulina e de um íon P;

d) a massa m_I de um íon de insulina, em unidades de massa atômica (u).

Note e adote:
A amostra e o tubo estão em vácuo. u = unidade de massa atômica. Carga do elétron: e = -1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C} 1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\text{ s}

Answer 1

Questão 16 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2017

2º dia · Física

A determinação da massa da molécula de insulina é parte do estudo de sua estrutura. Para medir essa massa, as moléculas de insulina são previamente ionizadas, adquirindo, cada molécula, a carga de um elétron. Esses íons (I) são liberados com velocidade inicial nula a partir de uma amostra submetida a um potencial V = -20\text{ kV}. Os íons são acelerados devido à diferença de potencial entre a amostra e um tubo metálico, em potencial nulo, no qual passam a se mover com velocidade constante. Para a calibração da medida, adiciona-se à amostra um material padrão cujas moléculas também são ionizadas, adquirindo, cada uma, a carga de um elétron; esses íons (P) têm massa conhecida igual a 2846 u. A situação está esquematizada na figura.

Esquema experimental mostrando uma amostra em potencial V = -20 kV liberando íons através de uma abertura para o interior de um tubo metálico de comprimento L em potencial nulo. À direita, a legenda identifica círculos maiores com setas como Insulina (I) e círculos menores com setas como Padrão (P), ambos deslocando-se para a direita.

a) Determine a energia cinética E dos íons, quando estão dentro do tubo.

O gráfico na página de respostas mostra o número N de íons em função do tempo t despendido para percorrerem o comprimento L do tubo. Determine

b) a partir dos tempos indicados no gráfico, a razão R_v = \frac{v_I}{v_P} entre os módulos das velocidades v_I, de um íon de insulina, e v_P, de um íon P, em movimento dentro do tubo;

c) a razão R_m = \frac{m_I}{m_P} entre as massas m_I e m_P, respectivamente, de um íon de insulina e de um íon P;

d) a massa m_I de um íon de insulina, em unidades de massa atômica (u).

Note e adote:
A amostra e o tubo estão em vácuo. u = unidade de massa atômica. Carga do elétron: e = -1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C} 1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\text{ s}

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Resolução comentada

a) O íon parte do repouso e é acelerado pela diferença de potencial entre a amostra (-20\ \text{kV}) e o tubo (potencial nulo). O trabalho da força elétrica vira energia cinética:

E = |e|\,|V| = 1{,}6\times10^{-19}\cdot 2{,}0\times10^{4} = 3{,}2\times10^{-15}\ \text{J}

Dentro do tubo não há campo elétrico, então a velocidade é constante e essa energia se mantém. Ela vale para I e para P, pois ambos têm carga de módulo e.

E = 3{,}2\times10^{-15}\ \text{J} (20 keV)

b) Os dois íons percorrem o mesmo comprimento L com velocidade constante, então v = L/t e

R_v=\frac{v_I}{v_P}=\frac{t_P}{t_I}

O gráfico não veio no enunciado. Usei os valores que recordo dele: pico do padrão em t_P = 28\ \mu\text{s} e pico da insulina em t_I = 40\ \mu\text{s} (confira com o seu gráfico). Assim:

R_v=\frac{28}{40}=0{,}7

R_v = 0{,}7

c) As energias cinéticas são iguais: \tfrac12 m_I v_I^2=\tfrac12 m_P v_P^2. Logo

R_m=\frac{m_I}{m_P}=\left(\frac{v_P}{v_I}\right)^2=\frac{1}{R_v^2}=\frac{1}{0{,}49}\approx 2{,}04

R_m \approx 2{,}04 (exatamente 100/49)

d) Multiplicando a razão pela massa do padrão:

m_I = \frac{100}{49}\cdot 2846 \approx 5808\ \text{u}

m_I \approx 5{,}8\times10^{3}\ \text{u} (cerca de 5808 u)

Assuntos: energia cinética e potencial elétrico, cinemática, razão entre massas de íons.

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Questão 16 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2017