Questão 5 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2016

2º dia · Interdisciplinar

O Canal do Panamá liga os oceanos Atlântico e Pacífico. Sua travessia é feita por navios de carga genericamente chamados de “Panamax”, cujas dimensões devem seguir determinados parâmetros, para não causar danos ao Canal ou à própria embarcação. Considere um Panamax em forma de um paralelepípedo reto-retângulo, com 200\ \text{m} de comprimento e 30\ \text{m} de largura. Quando esse navio, carregado, ainda está no mar do Caribe, no Oceano Atlântico, seu calado, que é a distância entre a superfície da água e o fundo do casco, é de 10\ \text{m}. O calado varia conforme a densidade da água na qual o navio está navegando, e essa densidade, por sua vez, depende da concentração de cloreto de sódio na água. O gráfico acima apresenta a variação da densidade da água do mar, a 25\ ^\circ\text{C}, em função da concentração de \ce{NaCl}, em \text{mol/L}.

Gráfico da densidade da água do mar em função da concentração de NaCl. O eixo horizontal, “Concentração de NaCl (mol/L)”, apresenta os valores 0, 0,5, 1,0, 1,5 e 2,0. O eixo vertical, “Densidade (g/mL)”, apresenta os valores 0,99, 1,01, 1,03, 1,05, 1,07 e 1,09. Sobre uma malha quadriculada, uma reta crescente vai de aproximadamente 0,996 g/mL, na concentração zero, até aproximadamente 1,082 g/mL, na concentração 2,0 mol/L.

a) Calcule a massa de água deslocada por esse navio, quando ainda está no mar do Caribe, sabendo que a concentração de cloreto de sódio nesse mar é 35\ \text{g/L}.

A concentração salina no interior do Canal é menor do que no mar do Caribe, pois o Canal é alimentado por um grande lago de água doce.

b) Considerando que a densidade da água no interior do Canal é 1{,}0\ \text{g/mL} e que o calado máximo permitido no interior do Canal é de 12\ \text{m}, o Panamax citado poderá cruzar o Canal em segurança? Explique, mostrando os cálculos.

Note e adote:
massa molar (\text{g/mol}) \ce{NaCl} ..... 58
temperatura média da água do mar do Caribe ..... 25\ ^\circ\text{C}
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Resolução comentada

a) Primeiro converto a concentração para mol/L: \frac{35\ \text{g/L}}{58\ \text{g/mol}} \approx 0{,}60\ \text{mol/L}.

No gráfico, para 0{,}6\ \text{mol/L} a densidade é cerca de 1{,}02\ \text{g/mL}, ou seja, 1{,}02\times10^3\ \text{kg/m}^3.

O volume de água deslocado é o volume submerso do casco (paralelepípedo):

V = 200 \cdot 30 \cdot 10 = 6{,}0\times10^4\ \text{m}^3

A massa deslocada é:

m = \rho V = 1{,}02\times10^3 \cdot 6{,}0\times10^4 \approx 6{,}1\times10^7\ \text{kg}

Massa deslocada \approx 6\times10^7\ \text{kg} (cerca de 6\times10^4 toneladas).

b) O navio flutua nos dois locais com a mesma carga, então o empuxo é igual ao peso e, portanto, a massa de água deslocada é a mesma: m = 6{,}1\times10^7\ \text{kg}.

No Canal, \rho = 1{,}0\ \text{g/mL} = 1{,}0\times10^3\ \text{kg/m}^3. O volume deslocado precisa ser:

V' = \frac{m}{\rho'} = \frac{6{,}1\times10^7}{1{,}0\times10^3} = 6{,}1\times10^4\ \text{m}^3

Como a área da base é 200\cdot30 = 6000\ \text{m}^2, o novo calado é:

h' = \frac{6{,}1\times10^4}{6000} \approx 10{,}2\ \text{m}

(Também pode ser feito por proporção: h' = 10\cdot\frac{1{,}02}{1{,}0} = 10{,}2\ \text{m}.)

O calado aumenta um pouco, pois a água é menos densa, mas 10{,}2\ \text{m} < 12\ \text{m}.

Sim, o navio pode cruzar o Canal em segurança, pois seu calado será de cerca de 10{,}2\ \text{m}, abaixo do máximo de 12\ \text{m}.

Assuntos: empuxo e flutuação, concentração molar e densidade.

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