Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2014

Question

Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado “Ponto de Lagrange L1”. Um satélite artificial colocado nesse ponto, em órbita ao redor do Sol, permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra. Nessa situação, ilustrada na figura ao lado, a velocidade angular orbital \omega_A do satélite em torno do Sol será igual à da Terra, \omega_T. Para essa condição, determine

Esquema mostrando o Sol à esquerda e a Terra à direita, alinhados por uma linha tracejada horizontal de comprimento R. Próximo à Terra, sobre a mesma linha, encontra-se o ponto L1, a uma distância d do centro da Terra.

a) \omega_T em função da constante gravitacional G, da massa M_S do Sol e da distância R entre a Terra e o Sol;

b) o valor de \omega_A em rad/s;

c) a expressão do módulo F_r da força gravitacional resultante que age sobre o satélite, em função de G, M_S, M_T, m, R e d, sendo M_T e m, respectivamente, as massas da Terra e do satélite e d a distância entre a Terra e o satélite.

Note e adote:
1\text{ ano} \approx 3{,}14 \times 10^7\text{ s}. O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M_1 e M_2, sendo r a distância entre eles, é dado por F = G M_1 M_2/r^2. Considere as órbitas circulares.

Answer 1

Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2014

3º dia · Física

Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado “Ponto de Lagrange L1”. Um satélite artificial colocado nesse ponto, em órbita ao redor do Sol, permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra. Nessa situação, ilustrada na figura ao lado, a velocidade angular orbital \omega_A do satélite em torno do Sol será igual à da Terra, \omega_T. Para essa condição, determine

Esquema mostrando o Sol à esquerda e a Terra à direita, alinhados por uma linha tracejada horizontal de comprimento R. Próximo à Terra, sobre a mesma linha, encontra-se o ponto L1, a uma distância d do centro da Terra.

a) \omega_T em função da constante gravitacional G, da massa M_S do Sol e da distância R entre a Terra e o Sol;

b) o valor de \omega_A em rad/s;

c) a expressão do módulo F_r da força gravitacional resultante que age sobre o satélite, em função de G, M_S, M_T, m, R e d, sendo M_T e m, respectivamente, as massas da Terra e do satélite e d a distância entre a Terra e o satélite.

Note e adote:
1\text{ ano} \approx 3{,}14 \times 10^7\text{ s}. O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M_1 e M_2, sendo r a distância entre eles, é dado por F = G M_1 M_2/r^2. Considere as órbitas circulares.

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Resolução comentada

a) A Terra faz órbita circular em torno do Sol. A força gravitacional do Sol é a resultante centrípeta:

\frac{G M_S M_T}{R^2} = M_T\,\omega_T^2\,R

A massa M_T se cancela, e fica \omega_T^2 = \dfrac{G M_S}{R^3}. Portanto:

\omega_T = \sqrt{\frac{G M_S}{R^3}}

b) O satélite em L1 tem a mesma velocidade angular da Terra, então \omega_A = \omega_T. A Terra dá uma volta em torno do Sol em 1 ano, e esse é o período T:

\omega_A = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \cdot 3{,}14}{3{,}14\times 10^{7}\ \text{s}} = 2\times 10^{-7}\ \text{rad/s}

c) O satélite está a uma distância R-d do Sol e a uma distância d da Terra. Nessa posição ele recebe duas forças gravitacionais na mesma reta, mas em sentidos opostos:

do Sol, atraindo-o para o Sol: F_S = \dfrac{G M_S m}{(R-d)^2};
da Terra, atraindo-o para a Terra: F_T = \dfrac{G M_T m}{d^2}.

A atração do Sol é maior, pois a resultante precisa apontar para o Sol e fazer o papel de força centrípeta. O módulo da resultante é a diferença entre as duas:

F_r = G\,m\left[\frac{M_S}{(R-d)^2} - \frac{M_T}{d^2}\right]

Assuntos: gravitação universal, movimento circular uniforme.

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