Questão 13 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2013

Question

O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de acordo com a expressão N(t) = N_0\text{ }e^{-\lambda t}, sendo N_0 o número de átomos deste isótopo em t = 0 e \lambda a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do \log_{10} N em função de t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável (^{99\text{ m}}\text{Tc}), muito utilizado em diagnósticos do coração.

Gráfico de log10 N em função de t (em horas). O eixo vertical representa log10 N e varia de 5,4 a 6,0 com subdivisões a cada 0,02 e marcações principais a cada 0,1. O eixo horizontal representa o tempo t (horas), variando de 0 a 10 com marcações de 2 em 2. Uma linha reta decrescente liga o ponto (0; 6,0) ao ponto (10; 5,5).

A partir do gráfico, determine

a) o valor de \log_{10} N_0 ;

b) o número N_0 de átomos radioativos de ^{99\text{ m}}\text{Tc} ;

c) a meia-vida (T_{1/2}) do ^{99\text{ m}}\text{Tc}.

Note e adote:

A meia-vida (T_{1/2}) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade.

\log_{10} 2 = 0{,}3 ; \log_{10} 5 = 0{,}7

Answer 1

Questão 13 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2013

2º dia · Física

O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de acordo com a expressão N(t) = N_0\text{ }e^{-\lambda t}, sendo N_0 o número de átomos deste isótopo em t = 0 e \lambda a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do \log_{10} N em função de t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável (^{99\text{ m}}\text{Tc}), muito utilizado em diagnósticos do coração.

Gráfico de log10 N em função de t (em horas). O eixo vertical representa log10 N e varia de 5,4 a 6,0 com subdivisões a cada 0,02 e marcações principais a cada 0,1. O eixo horizontal representa o tempo t (horas), variando de 0 a 10 com marcações de 2 em 2. Uma linha reta decrescente liga o ponto (0; 6,0) ao ponto (10; 5,5).

A partir do gráfico, determine

a) o valor de \log_{10} N_0 ;

b) o número N_0 de átomos radioativos de ^{99\text{ m}}\text{Tc} ;

c) a meia-vida (T_{1/2}) do ^{99\text{ m}}\text{Tc}.

Note e adote:

A meia-vida (T_{1/2}) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade.

\log_{10} 2 = 0{,}3 ; \log_{10} 5 = 0{,}7

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a) Em t=0, N(0)=N_0, então \log_{10}N_0 é o valor da reta no eixo vertical quando t=0. Pelo gráfico, a reta parte de 6,0.

\log_{10}N_0 = 6{,}0

\log_{10}N_0 = 6,0

b) Se \log_{10}N_0=6{,}0, então, pela definição de logaritmo:

N_0 = 10^{6{,}0} = 10^6

N_0 = 10^6 átomos

c) Aplicando \log_{10} em N=N_0e^{-\lambda t}, obtém-se \log_{10}N = \log_{10}N_0 - \lambda t\,\log_{10}e. Isso é uma reta em t, o que confirma o gráfico.

Na meia-vida, N=N_0/2, ou seja:

\log_{10}N = \log_{10}N_0 - \log_{10}2 = 6{,}0 - 0{,}3 = 5{,}7

No gráfico, o valor 5,7 no eixo vertical corresponde a t = 6 horas (a reta cai 0,1 a cada 2 h, ou seja, 0,3 em 6 h). Conferindo: de 0 a 10 h a queda é de 0,5, logo 0,05 por hora, e 0{,}3/0{,}05 = 6 h.

T_{1/2} = 6 horas

Assuntos: decaimento radioativo, logaritmos, meia-vida.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 13 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2013