Questão 15 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2012
Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por
a_1 = 1 + x, \quad a_2 = 6x, \quad a_3 = 2x^2 + 4\ ,
em que x é um número real.
a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a).
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Resolução comentada
a) Numa PA, o termo do meio é a média dos extremos: 2a_2 = a_1 + a_3.
12x = 1 + x + 2x^2 + 4 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 5 = 0
O discriminante é \Delta = 121 - 40 = 81, logo
x = \frac{11 \pm 9}{4} \Rightarrow x = 5 \ \text{ou}\ x = \frac{1}{2}.
Os possíveis valores são x = 1/2 e x = 5.
b) O menor valor é x = \tfrac12. Então:
- a_1 = 1 + \tfrac12 = \tfrac32
- a_2 = 6\cdot\tfrac12 = 3
- a_3 = 2\cdot\tfrac14 + 4 = \tfrac92
A razão é r = 3 - \tfrac32 = \tfrac32 (confere: \tfrac92 - 3 = \tfrac32).
O centésimo termo é
a_{100} = a_1 + 99r = \frac32 + \frac{297}{2} = 150.
A soma dos 100 primeiros termos é
S_{100} = \frac{(a_1 + a_{100})\cdot 100}{2} = 50\left(\frac32 + 150\right) = 50\cdot\frac{303}{2} = 25\cdot 303 = 7575.
S_{100} = 7575
Assuntos: progressão aritmética, equação do segundo grau, soma de termos de PA.
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