Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2010
No triângulo ABC da figura, a mediana \overline{AM}, relativa ao lado \overline{BC}, é perpendicular ao lado \overline{AB}. Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se \alpha é a medida do ângulo A\hat{B}C, determine
a) \operatorname{sen}\alpha.
b) o comprimento AC.
c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado \overline{AB}.
d) a área do triângulo AMC.
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Resolução comentada
a) Como AM \perp AB, o triângulo ABM é retângulo em A. Sendo M o ponto médio de BC, temos BM = \dfrac{BC}{2} = 2, que é a hipotenusa. O ângulo \alpha está em B, e o cateto oposto a ele é AM = 1:
Logo \alpha = 30^\circ (o ângulo é agudo, pois está num triângulo retângulo). \sen\alpha = \dfrac12
b) No triângulo retângulo ABM, AB = \sqrt{BM^2 - AM^2} = \sqrt{4-1} = \sqrt3.
No triângulo ABC temos AB=\sqrt3, BC=4 e \hat B = 30^\circ. Pela lei dos cossenos:
AC = \sqrt7
c) Seja h a altura de C em relação a AB. Como AM\perp AB, o segmento AM é paralelo a essa altura. M é ponto médio de BC, então a distância de M à reta AB é a metade da distância de C. A distância de M à reta AB é AM = 1, portanto h = 2\cdot 1 = 2.
Conferindo pelo seno: a altura de C em relação a AB é BC\cdot\sen 30^\circ = 4\cdot\frac12 = 2. h = 2
d) Pela altura do item anterior, \text{Área}(ABC) = \dfrac{AB\cdot h}{2} = \dfrac{\sqrt3\cdot 2}{2} = \sqrt3.
A mediana AM divide o triângulo ABC em dois triângulos de mesma área, pois BM = MC e eles têm a mesma altura relativa a A. Assim:
Área = \dfrac{\sqrt3}{2}
Assuntos: geometria plana, lei dos cossenos, mediana e áreas de triângulos.
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