Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2010
Determine a solução (x, y), y > 1, para o sistema de equações
\begin{cases} \log_y(9x - 35) = 6 \\ \log_{3y}(27x - 81) = 3 \end{cases}
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Escreva cada logaritmo na forma exponencial.
Da primeira equação: y^6 = 9x - 35.
Da segunda: (3y)^3 = 27x - 81, ou seja, 27y^3 = 27x - 81. Dividindo por 27, temos y^3 = x - 3, logo x = y^3 + 3.
Substituindo x na primeira equação:
y^6 = 9(y^3 + 3) - 35 = 9y^3 - 8
Fazendo t = y^3, temos t^2 - 9t + 8 = 0. As raízes são t = 1 e t = 8.
- Se t = 1, então y = 1, que não serve porque o enunciado exige y > 1 (e 1 não pode ser base de logaritmo).
- Se t = 8, então y^3 = 8, logo y = 2, e x = 8 + 3 = 11.
Verificação:
- 9\cdot 11 - 35 = 64 = 2^6, então \log_2 64 = 6.
- 27\cdot 11 - 81 = 216 = 6^3, então \log_6 216 = 3, com base 3y = 6.
Os logaritmandos são positivos e as bases são válidas.
Solução: (x, y) = (11, 2)
Assuntos: logaritmos, sistemas de equações, equação do segundo grau.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
