Questão 16 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2010

2º dia · Matemática

Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta. No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem.

a) Indique a localização das cidades A, B e C no esquema apresentado na folha de respostas.

b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a aproximação \sqrt{2} = 1{,}4)

c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta.

d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a)

Como A está a noroeste de B, ela deve aparecer acima e à esquerda de B em um esquema com o norte para cima e o leste para a direita. O deslocamento de A até C tem sentido sul; portanto, C fica diretamente abaixo de A. Já o deslocamento de C até B tem sentido leste, colocando B diretamente à direita de C. Assim, o ângulo reto do trajeto fica em C.

A fica acima de C; B fica à direita de C; A fica a noroeste de B.

b)

Os trechos AC e CB são perpendiculares e têm a mesma extensão. Portanto, as três cidades formam um triângulo retângulo isósceles, cuja hipotenusa é o trecho AB, de 85\ \text{km}.

Chamando de x a extensão de cada trecho perpendicular, aplicamos o teorema de Pitágoras:

x^2+x^2=85^2\quad\Rightarrow\quad x=\frac{85}{\sqrt{2}}=\frac{85\sqrt{2}}{2}.

Usando a aproximação fornecida, \sqrt{2}=1{,}4, na expressão racionalizada:

x\approx\frac{85\cdot1{,}4}{2}=59{,}5\ \text{km}.

Cada trecho perpendicular mede aproximadamente 59{,}5\ \text{km}.

c)

O novo trajeto é composto pelos trechos AC e CB. Para encontrar o acréscimo de percurso, somamos suas extensões e subtraímos a distância do retorno direto AB. Usando os valores obtidos no item anterior:

d_{\text{novo}}=59{,}5+59{,}5=119\ \text{km}.

Como o retorno em linha reta teria 85\ \text{km}, a diferença é:

\Delta d=119-85=34\ \text{km}.

É apenas essa distância adicional que deve entrar no cálculo dos custos extras da entrega.

O novo trajeto acrescenta 34\ \text{km} ao percurso.

d)

O preço mínimo deve cobrir o combustível consumido nos 34\ \text{km} adicionais e a remuneração pelo tempo extra. Não devemos cobrar todo o retorno, pois o transportador já faria o percurso direto até B.

Com rendimento de 7\ \text{km/L} e diesel a R$ 2,00 por litro, o custo adicional de combustível é:

C_{\text{comb}}=\frac{34}{7}\cdot2=\frac{68}{7}\ \text{reais}.

À velocidade média de 70\ \text{km/h}, o tempo extra e sua remuneração são:

\Delta t=\frac{34}{70}\ \text{h},\qquad C_{\text{tempo}}=200\cdot\frac{34}{70}=\frac{680}{7}\ \text{reais}.

Somando as duas parcelas, sem arredondamentos intermediários:

P_{\min}=\frac{68+680}{7}=\frac{748}{7}\approx106{,}86\ \text{reais}.

O preço mínimo para aceitar o trabalho é R$ 106,86.

Assuntos: orientação espacial, teorema de pitágoras, proporcionalidade.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2010