Questão 153 do ENEM 2025

2º dia · Matemática

Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.

Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.

Plano cartesiano com eixos x e y no primeiro quadrante, exibindo um quadrado azul de vértices rotacionados T, U, V e S, com as coordenadas dos pontos S(6; 2) e V(8; 6) indicadas.

Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?

  1. A
    y = -3x + 20
  2. B
    y = -3x + 16
  3. C
    y = -3x - 20
  4. D
    y = 3x + 16
  5. E
    y = 3x - 16
Resolução comentada

O conjunto de pontos equidistantes de dois pontos V e T é a mediatriz do segmento VT. Como V e T são vértices opostos do quadrado STUV (a ordem é S, T, U, V), VT é uma diagonal, e a mediatriz dela é a reta que contém a outra diagonal, SU. Assim, a trajetória passa por S.

Precisamos de T. Pela figura, S e V são vértices consecutivos (lado VS), e T é vizinho de S.

  1. Vetor \overrightarrow{SV} = (8-6;\ 6-2) = (2;\ 4).
  2. O lado ST é perpendicular a SV e do mesmo tamanho. Na figura, T fica à esquerda de S e um pouco acima, então \overrightarrow{ST} = (-4;\ 2).
  3. T = (6-4;\ 2+2) = (2;\ 4).

A mediatriz de VT passa pelo ponto médio M de VT:

M = \left(\frac{8+2}{2};\ \frac{6+4}{2}\right) = (5;\ 5)

O coeficiente angular de VT é \dfrac{6-4}{8-2} = \dfrac{1}{3}. A mediatriz é perpendicular, então seu coeficiente é -3.

Equação por M(5;5):

y - 5 = -3(x - 5) \Rightarrow y = -3x + 20

Conferência: S(6;2) dá -18+20 = 2. ✓

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BO termo -3x+16 não passa pelo ponto médio (5;5) nem por S(6;2), pois -18+16=-2.
  • CErra o sinal do termo independente, e a reta não passa por S.
  • DUsa coeficiente +3, que é paralelo à direção errada (não é perpendicular a VT).
  • EUsa coeficiente +3 e termo -16, inclinação e posição incorretas.

Assuntos: mediatriz, geometria analítica, equação da reta.

Ver como caiu na prova Questão 153 no caderno Azul do ENEM 2025

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