Questão 180 do ENEM 2024

2º dia · Matemática

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

  1. A
    \frac{7!}{4!} \times \frac{6!}{4!}
  2. B
    \frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}
  3. C
    \frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!} + \frac{5!}{1! \times 4!}
  4. D
    \left( \frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!} \right) \times \left( \frac{7!}{4! \times 3!} + \frac{6!}{1! \times 5!} \right) \times \left( \frac{7!}{5! \times 2!} + \frac{6!}{0! \times 6!} \right)
  5. E
    \left( \frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!} \right) + \left( \frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!} \right) + \left( \frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!} \right)
Resolução comentada

Como a equipe tem 5 médicos e pelo menos 3 são cardiologistas, há três casos possíveis, que não se misturam:

  1. 3 cardiologistas e 2 neurologistas;
  2. 4 cardiologistas e 1 neurologista;
  3. 5 cardiologistas e 0 neurologistas.

Em cada caso, a ordem dos escolhidos não importa, então usamos combinação: C_{n,p}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}. Escolher os cardiologistas e os neurologistas são etapas independentes, então multiplicamos. Casos diferentes se somam.

Caso 1: C_{7,3}\times C_{6,2}=\frac{7!}{3!\times 4!}\times\frac{6!}{2!\times 4!}.

Caso 2: C_{7,4}\times C_{6,1}=\frac{7!}{4!\times 3!}\times\frac{6!}{1!\times 5!}.

Caso 3: C_{7,5}\times C_{6,0}=\frac{7!}{5!\times 2!}\times\frac{6!}{0!\times 6!}.

O total é a soma dos três casos, cada um sendo um produto:

\left(\frac{7!}{3!\,4!}\times\frac{6!}{2!\,4!}\right)+\left(\frac{7!}{4!\,3!}\times\frac{6!}{1!\,5!}\right)+\left(\frac{7!}{5!\,2!}\times\frac{6!}{0!\,6!}\right)

Essa é exatamente a expressão da alternativa E.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana por conter os mesmos termos da E, mas troca soma por produto: casos distintos se somam e etapas de um mesmo caso se multiplicam.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa fatoriais que não correspondem a combinações e considera um único caso, sem dividir corretamente.
  • Bconta só o caso de 3 cardiologistas e 2 neurologistas, esquecendo os casos de 4 e 5 cardiologistas.
  • Csoma combinações de grupos diferentes em vez de multiplicar cardiologistas por neurologistas, e ainda usa 5! sem sentido.
  • Dmultiplica os casos entre si, quando casos excludentes devem ser somados; e soma dentro dos parênteses o que deveria ser multiplicado.

Assuntos: análise combinatória, combinação, princípios aditivo e multiplicativo.

Ver como caiu na prova Questão 180 no caderno Azul do ENEM 2024

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