Questão 158 do ENEM 2022

2º dia · Matemática

Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t) = -t^2 + 10t + 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:

• I: 1 \le t \le 2;
• II: 3 \le t \le 4;
• III: 5 \le t \le 6;
• IV: 7 \le t \le 9;
• V: 10 \le t \le 12.

A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.

A proposta escolhida foi a

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
Resolução comentada

O modelo p(t) = -t^2 + 10t + 24 é uma função quadrática com a = -1 < 0. Sua parábola tem concavidade para baixo, então o valor máximo ocorre no vértice.

A abscissa do vértice é dada por t_v = -\dfrac{b}{2a}.

  1. Identificamos os coeficientes: a = -1 e b = 10.
  2. Calculamos: t_v = -\dfrac{10}{2\cdot(-1)} = 5.

Como t é um número natural entre 1 e 12, o mês 5 é válido. O número máximo de infectados é p(5) = -25 + 50 + 24 = 49.

Conferindo com os vizinhos: p(4) = -16 + 40 + 24 = 48 e p(6) = -36 + 60 + 24 = 48, ambos menores que 49.

O mês 5 pertence ao período 5 \le t \le 6, que é o da proposta III.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO período de 1 a 2 meses está longe do vértice; nesses meses p(1)=33 e p(2)=40, valores menores que o máximo.
  • BO mês 4 tem 48 infectados, menos que os 49 do mês 5, que fica fora do período 3 a 4.
  • DNos meses 7 a 9 a função já é decrescente; p(7)=45 é menor que o máximo.
  • EOs meses 10 a 12 têm poucos infectados (p(10)=24 e p(12)=0), bem abaixo do máximo.

Assuntos: função quadrática, vértice da parábola.

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