Questão 15 do ENEM 2002

Question

Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano

Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição)

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Tabela com o nome, o desenho e o ângulo interno de polígonos regulares: triângulo, 60°; quadrado, 90°; pentágono, 108°; hexágono, 120°; octógono, 135°; eneágono, 140°.

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um

A
triângulo.
B
quadrado.
C
pentágono.
D
hexágono.
E
eneágono.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do ENEM 2002

Prova · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano

Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição)

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Tabela com o nome, o desenho e o ângulo interno de polígonos regulares: triângulo, 60°; quadrado, 90°; pentágono, 108°; hexágono, 120°; octógono, 135°; eneágono, 140°.

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um

A
triângulo.
B
quadrado.
C
pentágono.
D
hexágono.
E
eneágono.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para pavimentar sem falhas nem sobreposições, os ângulos dos polígonos que se encontram em cada vértice devem somar exatamente 360^\circ, a volta completa.

O octógono regular tem ângulo interno de 135^\circ. Precisamos descobrir qual outro polígono da tabela completa o que falta em cada vértice.

Com um octógono no vértice: 360^\circ - 135^\circ = 225^\circ restantes.
Com dois octógonos: 360^\circ - 2\cdot 135^\circ = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ restantes.
Três octógonos somariam 405^\circ, mais que a volta, então não cabem.

Sobram 90^\circ com dois octógonos, que é o ângulo do quadrado. Assim, em cada vértice se encontram dois octógonos e um quadrado:

135^\circ + 135^\circ + 90^\circ = 360^\circ

Testando o caso de um octógono só, 225^\circ não pode ser obtido com os outros ângulos da tabela (60+60+... não fecha: 225 não é combinação de 60, 108, 120 ou 140 com os demais). Além disso, nenhum outro polígono resolve com dois octógonos, pois só o quadrado tem 90^\circ.

Portanto o outro ladrilho deve ser o quadrado.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO triângulo tem 60°, e 135° + 135° + 60° = 330°, deixando falha de 30°.
CO pentágono tem 108°, e 135° + 135° + 108° = 378° ultrapassa 360°, causando sobreposição.
DO hexágono tem 120°, e 135° + 135° + 120° = 390° ultrapassa 360°.
EO eneágono tem 140°, e 135° + 135° + 140° = 410° ultrapassa 360°.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Questão 15 no caderno Amarela do ENEM 2002