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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ENEM 2001

Prova · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo:

Frente e verso do cartão de apostas. A frente apresenta 15 círculos distribuídos em 5 linhas numeradas de 1 a 5: linha 1 com 3 círculos, linha 2 com 4 círculos, linha 3 com 3 círculos, linha 4 com 3 círculos e linha 5 com 2 círculos. O verso contém as instruções sob o título "Como jogar".

Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero.

Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é

  1. A
    1/27.
  2. B
    1/36.
  3. C
    1/54.
  4. D
    1/72.
  5. E
    1/108.
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Resolução comentada

Para ganhar, o cliente precisa achar bola de futebol em cada uma das 5 linhas, raspando apenas um círculo por linha. A probabilidade total é o produto das probabilidades de acertar uma bola em cada linha.

Primeiro, contamos as bolas. São 7 no total, e já sabemos que há 2 na linha 4 e 2 na linha 5. Restam 7-4=3 bolas para as linhas 1, 2 e 3.

Como a probabilidade de ganhar nunca é zero, cada linha tem pelo menos uma bola. Logo, as 3 bolas restantes ficam uma em cada linha 1, 2 e 3.

Probabilidade em cada linha (bolas ÷ círculos):

  1. Linha 1: \frac{1}{3}
  2. Linha 2: \frac{1}{4}
  3. Linha 3: \frac{1}{3}
  4. Linha 4: \frac{2}{3}
  5. Linha 5: \frac{2}{2}=1

Como os raspados em cada linha são eventos em sequência, multiplicamos:

P=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{108}=\frac{1}{54}

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem coloca apenas 1 bola na linha 4 (1/3 em vez de 2/3), esquecendo que o enunciado diz haver duas bolas ali.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o produto correto das cinco probabilidades (não considera a linha 4 com 2 bolas de 3).
  • BErro no produto, por exemplo tratando a linha 4 como 1/3 e a linha 5 como 1, o que daria 1/108 ou outro valor, sem chegar a 1/36.
  • DValor menor demais, que não corresponde ao produto 1/3·1/4·1/3·2/3·1.
  • EEsquece que a linha 4 tem 2 bolas (usa 1/3 em vez de 2/3), obtendo 1/108.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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