Questão 180 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

Uma pista circular delimitada por duas circunferências concêntricas foi construída. Na circunferência interna dessa pista, de raio 0,3 km, serão colocados aparelhos de ginástica localizados nos pontos P, Q e R, conforme a figura.

Duas circunferências concêntricas representando a pista circular, com três pontos sobre a circunferência interna: o ponto R na extremidade esquerda, o ponto P na extremidade direita e o ponto Q na parte superior, ligeiramente inclinado à direita.

O segmento RP é um diâmetro dessa circunferência interna, e o ângulo P\widehat{R}Q tem medida igual a \frac{\pi}{5} radianos.

Para uma pessoa ir do ponto P ao ponto Q andando pela circunferência interna no sentido anti-horário, ela percorrerá uma distância, em quilômetro, igual a

  1. A
    0{,}009\pi
  2. B
    0{,}03\pi
  3. C
    0{,}06\pi
  4. D
    0{,}12\pi
  5. E
    0{,}18\pi
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Resolução comentada

O ângulo P\widehat{R}Q é inscrito na circunferência: seu vértice R está sobre ela. Um ângulo inscrito mede a metade do ângulo central que enxerga o mesmo arco. Logo, o arco PQ (o menor, que não contém R) tem ângulo central igual ao dobro de \frac{\pi}{5}.

  1. Ângulo central do arco PQ: 2\cdot\frac{\pi}{5}=\frac{2\pi}{5} rad.

  2. Comprimento de um arco = raio × ângulo central (em radianos). Com r = 0{,}3 km:

\ell = 0{,}3\cdot\frac{2\pi}{5} = \frac{0{,}6\pi}{5} = 0{,}12\pi\ \text{km}
  1. Conferindo com a figura: Q está na parte superior, perto do topo, então o arco anti-horário de P até Q é menor que um quarto de volta (\frac{\pi}{2}). Como \frac{2\pi}{5}=72^\circ<90^\circ, o resultado é coerente. O caminho anti-horário de P a Q passa pela parte de cima da direita, que é justamente esse arco menor.

Portanto, a distância percorrida é 0{,}12\pi km.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa o ângulo inscrito \frac{\pi}{5} diretamente como ângulo do arco, esquecendo de dobrá-lo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErro de cálculo com a potência de dez; não corresponde a r\cdot\frac{2\pi}{5}.
  • BErro de escala no cálculo do comprimento; o valor correto é quatro vezes maior.
  • CUsa o ângulo inscrito \frac{\pi}{5} como se fosse o central: 0{,}3\cdot\frac{\pi}{5}=0{,}06\pi.
  • EUsa ângulo central de \frac{3\pi}{5} (ou multiplica por 3 em vez de 2), maior que o arco real.

Assuntos: ângulo inscrito, comprimento de arco, circunferência.

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