Questão 63 do ENEM PPL 2015

Question

Observações astronômicas indicam que no centro de nossa galáxia, a Via Láctea, provavelmente exista um buraco negro cuja massa é igual a milhares de vezes a massa do Sol. Uma técnica simples para estimar a massa desse buraco negro consiste em observar algum objeto que orbite ao seu redor e medir o período de uma rotação completa, T, bem como o raio médio, R, da órbita do objeto, que supostamente se desloca, com boa aproximação, em movimento circular uniforme. Nessa situação, considere que a força resultante, devido ao movimento circular, é igual, em magnitude, à força gravitacional que o buraco negro exerce sobre o objeto.

A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da constante gravitacional, G, a massa do buraco negro é

A
\dfrac{4\pi^2 R^2}{GT^2}.
B
\dfrac{\pi^2 R^3}{2GT^2}.
C
\dfrac{2\pi^2 R^3}{GT^2}.
D
\dfrac{4\pi^2 R^3}{GT^2}.
E
\dfrac{\pi^2 R^5}{GT^2}.

Answer 1

Questão 63 do ENEM PPL 2015

1º dia · Ciências da Natureza

Observações astronômicas indicam que no centro de nossa galáxia, a Via Láctea, provavelmente exista um buraco negro cuja massa é igual a milhares de vezes a massa do Sol. Uma técnica simples para estimar a massa desse buraco negro consiste em observar algum objeto que orbite ao seu redor e medir o período de uma rotação completa, T, bem como o raio médio, R, da órbita do objeto, que supostamente se desloca, com boa aproximação, em movimento circular uniforme. Nessa situação, considere que a força resultante, devido ao movimento circular, é igual, em magnitude, à força gravitacional que o buraco negro exerce sobre o objeto.

A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da constante gravitacional, G, a massa do buraco negro é

A
\dfrac{4\pi^2 R^2}{GT^2}.
B
\dfrac{\pi^2 R^3}{2GT^2}.
C
\dfrac{2\pi^2 R^3}{GT^2}.
D
\dfrac{4\pi^2 R^3}{GT^2}.
E
\dfrac{\pi^2 R^5}{GT^2}.

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Resolução comentada

A ideia é igualar a força resultante centrípeta, que mantém o objeto em movimento circular uniforme, à força gravitacional exercida pelo buraco negro.

Sejam M a massa do buraco negro e m a massa do objeto que orbita.

Força gravitacional: F_g = \dfrac{GMm}{R^2}.
Força centrípeta: F_c = m\omega^2 R. Como \omega = \dfrac{2\pi}{T}, temos F_c = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}R.
Igualando as duas:

\dfrac{GMm}{R^2} = \dfrac{4\pi^2 m R}{T^2}

A massa m do objeto se cancela dos dois lados. Isolando M:

M = \dfrac{4\pi^2 R^3}{GT^2}

Essa é a terceira lei de Kepler escrita com a massa central. O resultado depende só de R, T e G, exatamente os dados que o enunciado diz que são conhecidos.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa R^2 em vez de R^3; esquece que a força gravitacional tem R^2 no denominador e a centrípeta tem R no numerador.
BCoeficiente \pi^2/2 sem sentido físico; não vem da igualdade das forças.
CCoeficiente 2\pi^2 errado; \omega=2\pi/T elevado ao quadrado dá 4\pi^2.
EExpoente R^5 e coeficiente \pi^2 incorretos, sem correspondência com a dedução.

Assuntos: gravitação universal, movimento circular uniforme, terceira lei de Kepler.

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Questão 63 no caderno Branco do ENEM PPL 2015

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