Questão 12 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2023

2º dia · Física

A Antártida possui centenas de lagos subglaciais, ou seja, abaixo do solo e do gelo que recobre o continente. Recentemente, lá foi descoberto um aquífero de grandes dimensões. Considere um lago de área horizontal A = 50\ \text{km}^2 e dimensão vertical y = 12\ \text{m} (ver figura), coberto por uma camada de gelo de espessura d = 5{,}0\ \text{m}. A água líquida do lago encontra-se na temperatura do seu ponto de fusão, \theta_{\text{água}} = 0\ ^\circ\text{C}, e o ar imediatamente acima do gelo está na temperatura \theta_{\text{ar}} = -15{,}0\ ^\circ\text{C}. A densidade da água líquida é \rho = 1{,}0\ \text{g/cm}^3 e 1\ \text{cal} \simeq 4\ \text{J}.

Esquema de um lago sob uma camada de gelo. Acima da camada está o ar, com temperatura θ_ar = −15 °C. A camada de gelo, sombreada, tem espessura d = 5,0 m, indicada por uma seta vertical de duas pontas. Abaixo está o lago, com θ_água = 0 °C e dimensão vertical y = 12 m, indicada por outra seta de duas pontas entre a base do gelo e o fundo do lago.

a) Para congelar a água, é preciso retirar calor dela. O calor latente de fusão/solidificação da água é L_F = 80\ \text{cal/g}. Qual é a quantidade de calor que deve ser retirada para congelar completamente o lago, mantendo-se a temperatura do lago a 0\ ^\circ\text{C}?

b) A quantidade de calor Q conduzido da água do lago para o ar, num intervalo de tempo \Delta t, através de uma área A, obedece à relação: \dfrac{Q}{\Delta t\ A} = \dfrac{k}{d}\left(\theta_{\text{água}} - \theta_{\text{ar}}\right), sendo k = 2{,}2\ \text{W}/(\text{m}\cdot{}^\circ\text{C}) a condutividade térmica do gelo. Calcule a potência conduzida através de toda a área A acima do lago.

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a) Para congelar o lago inteiro, é preciso retirar o calor latente de toda a massa de água. O lago tem volume

V = A\,y = 50\times10^{6}\ \text{m}^2 \cdot 12\ \text{m} = 6{,}0\times10^{8}\ \text{m}^3

Com \rho = 1{,}0\ \text{g/cm}^3 = 10^{6}\ \text{g/m}^3, a massa é

m = \rho V = 10^{6}\cdot 6{,}0\times10^{8} = 6{,}0\times10^{14}\ \text{g}

Como a temperatura permanece em 0\ ^\circ\text{C}, só há mudança de fase, e o calor retirado é

Q = m L_F = 6{,}0\times10^{14}\cdot 80 = 4{,}8\times10^{16}\ \text{cal}

Em joules, com 1\ \text{cal} \simeq 4\ \text{J}:

Q \simeq 1{,}9\times10^{17}\ \text{J}

Q ≈ 4,8 × 10¹⁶ cal (≈ 1,9 × 10¹⁷ J)

b) A relação dada é a lei de Fourier. Como Q/\Delta t é a potência P, temos

P = \frac{k\,A}{d}\left(\theta_{\text{água}}-\theta_{\text{ar}}\right)

Substituindo, com A = 50\ \text{km}^2 = 5{,}0\times10^{7}\ \text{m}^2 e \Delta\theta = 0-(-15) = 15\ ^\circ\text{C}:

P = \frac{2{,}2\cdot 5{,}0\times10^{7}}{5{,}0}\cdot 15 = 2{,}2\times10^{7}\cdot 15 = 3{,}3\times10^{8}\ \text{W}

P ≈ 3,3 × 10⁸ W

Assuntos: calorimetria, calor latente, condução térmica.

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