Questão 8 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2016

Question

Plutão é considerado um planeta anão, com massa M_P = 1 \times 10^{22}\text{ kg}, bem menor que a massa da Terra. O módulo da força gravitacional entre duas massas m_1 e m_2 é dado por F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, em que r é a distância entre as massas e G é a constante gravitacional. Em situações que envolvem distâncias astronômicas, a unidade de comprimento comumente utilizada é a Unidade Astronômica (UA).

a) Considere que, durante a sua aproximação a Plutão, a sonda se encontra em uma posição que está d_P = 0{,}15\text{ UA} distante do centro de Plutão e d_T = 30\text{ UA} distante do centro da Terra. Calcule a razão \left(\frac{F_{gT}}{F_{gP}}\right) entre o módulo da força gravitacional com que a Terra atrai a sonda e o módulo da força gravitacional com que Plutão atrai a sonda. Caso necessário, use a massa da Terra M_T = 6 \times 10^{24}\text{ kg}.

b) Suponha que a sonda New Horizons estabeleça uma órbita circular com velocidade escalar orbital constante em torno de Plutão com um raio de r_P = 1 \times 10^{-4}\text{ UA}. Obtenha o módulo da velocidade orbital nesse caso. Se necessário, use a constante gravitacional G = 6 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^2. Caso necessário, use 1\text{ UA (Unidade astronômica)} = 1{,}5 \times 10^8\text{ km}.

Answer 1

Questão 8 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2016

3º dia · Física

Plutão é considerado um planeta anão, com massa M_P = 1 \times 10^{22}\text{ kg}, bem menor que a massa da Terra. O módulo da força gravitacional entre duas massas m_1 e m_2 é dado por F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, em que r é a distância entre as massas e G é a constante gravitacional. Em situações que envolvem distâncias astronômicas, a unidade de comprimento comumente utilizada é a Unidade Astronômica (UA).

a) Considere que, durante a sua aproximação a Plutão, a sonda se encontra em uma posição que está d_P = 0{,}15\text{ UA} distante do centro de Plutão e d_T = 30\text{ UA} distante do centro da Terra. Calcule a razão \left(\frac{F_{gT}}{F_{gP}}\right) entre o módulo da força gravitacional com que a Terra atrai a sonda e o módulo da força gravitacional com que Plutão atrai a sonda. Caso necessário, use a massa da Terra M_T = 6 \times 10^{24}\text{ kg}.

b) Suponha que a sonda New Horizons estabeleça uma órbita circular com velocidade escalar orbital constante em torno de Plutão com um raio de r_P = 1 \times 10^{-4}\text{ UA}. Obtenha o módulo da velocidade orbital nesse caso. Se necessário, use a constante gravitacional G = 6 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^2. Caso necessário, use 1\text{ UA (Unidade astronômica)} = 1{,}5 \times 10^8\text{ km}.

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Resolução comentada

a) A massa da sonda m aparece nas duas forças e se cancela na razão. Então:

\frac{F_{gT}}{F_{gP}}=\frac{G\,M_T\,m/d_T^2}{G\,M_P\,m/d_P^2}=\frac{M_T}{M_P}\left(\frac{d_P}{d_T}\right)^2

Como a razão é adimensional, as distâncias podem ficar em UA, sem converter para metros.

\dfrac{M_T}{M_P}=\dfrac{6\times10^{24}}{1\times10^{22}}=600
\dfrac{d_P}{d_T}=\dfrac{0{,}15}{30}=5\times10^{-3}, logo \left(\dfrac{d_P}{d_T}\right)^2=2{,}5\times10^{-5}
\dfrac{F_{gT}}{F_{gP}}=600\cdot 2{,}5\times10^{-5}=1{,}5\times10^{-2}

A atração de Plutão é cerca de 67 vezes maior que a da Terra, porque a sonda está muito mais perto dele.

F_{gT}/F_{gP}=1{,}5\times10^{-2}

b) Na órbita circular, a força gravitacional de Plutão é a resultante centrípeta:

\frac{G M_P m}{r_P^2}=\frac{m v^2}{r_P}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{G M_P}{r_P}}

Primeiro, converta o raio para metros:

r_P=10^{-4}\cdot1{,}5\times10^{8}\ \text{km}=1{,}5\times10^{4}\ \text{km}=1{,}5\times10^{7}\ \text{m}

Substituindo:

v=\sqrt{\frac{6\times10^{-11}\cdot10^{22}}{1{,}5\times10^{7}}}=\sqrt{4\times10^{4}}=2\times10^{2}\ \text{m/s}

v=200\ \text{m/s}

Assuntos: gravitação universal, movimento circular uniforme, velocidade orbital.

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