Questão 19 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2014

3º dia · Ciências da Natureza

“As denúncias de violação de telefonemas e transmissão de dados de empresas e cidadãos brasileiros serviram para reforçar a tese das Forças Armadas da necessidade de o Brasil dispor de seu próprio satélite geoestacionário de comunicação militar” (O Estado de São Paulo, 15/07/2013). Uma órbita geoestacionária é caracterizada por estar no plano equatorial terrestre, sendo que o satélite que a executa está sempre acima do mesmo ponto no equador da superfície terrestre. Considere que a órbita geoestacionária tem um raio r = 42000\text{ km}.

a) Calcule a aceleração centrípeta de um satélite em órbita circular geoestacionária.

b) A energia mecânica de um satélite de massa m em órbita circular em torno da terra é dada por E = -\dfrac{GMm}{2r}, em que r é o raio da órbita, M = 6 \times 10^{24}\text{ kg} é a massa da Terra e G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}.

O raio de órbita de satélites comuns de observação (não geoestacionários) é tipicamente de 7000\text{ km}. Calcule a energia adicional necessária para colocar um satélite de 200\text{ kg} de massa em uma órbita geoestacionária, em comparação a colocá-lo em uma órbita comum de observação.

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a) O satélite geoestacionário fica sempre sobre o mesmo ponto do equador, então seu período é o da rotação da Terra: T = 24\ \text{h} = 86400\ \text{s} (a prova usa \pi \approx 3).

A velocidade angular é:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\cdot 3}{86400} \approx 6{,}9\times 10^{-5}\ \text{rad/s}

A aceleração centrípeta é a_c = \omega^2 r, com r = 4{,}2\times 10^{7}\ \text{m}:

  1. \omega^2 \approx 4{,}8\times 10^{-9}\ \text{s}^{-2}
  2. a_c = 4{,}8\times 10^{-9}\cdot 4{,}2\times 10^{7} \approx 0{,}20\ \text{m/s}^2

Com \pi = 3{,}14 o resultado seria cerca de 0{,}22\ \text{m/s}^2.

a_c \approx 0{,}2\ \text{m/s}^2

b) A energia adicional é a diferença entre as energias mecânicas nas duas órbitas:

\Delta E = E_{geo} - E_{obs} = -\frac{GMm}{2r_{geo}} + \frac{GMm}{2r_{obs}} = \frac{GMm}{2}\left(\frac{1}{r_{obs}} - \frac{1}{r_{geo}}\right)

Cálculo, com r_{obs} = 7\times 10^{6}\ \text{m} e r_{geo} = 4{,}2\times 10^{7}\ \text{m}:

  1. GM = 6{,}7\times 10^{-11}\cdot 6\times 10^{24} = 4{,}02\times 10^{14}
  2. \dfrac{GMm}{2} = \dfrac{4{,}02\times 10^{14}\cdot 200}{2} = 4{,}02\times 10^{16}
  3. \dfrac{1}{r_{obs}} - \dfrac{1}{r_{geo}} = \dfrac{1}{7\times 10^{6}} - \dfrac{1}{42\times 10^{6}} = \dfrac{6-1}{42\times 10^{6}} = \dfrac{5}{42}\times 10^{-6} \approx 1{,}19\times 10^{-7}\ \text{m}^{-1}
  4. \Delta E = 4{,}02\times 10^{16}\cdot 1{,}19\times 10^{-7} \approx 4{,}8\times 10^{9}\ \text{J}

O sinal positivo indica que é preciso fornecer energia ao satélite.

\Delta E \approx 4{,}8\times 10^{9}\ \text{J}

Assuntos: gravitação, movimento circular, energia mecânica de satélites.

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