Questão 7 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2012

3º dia · Ciências da Natureza

Nos últimos anos, o Brasil vem implantando em diversas cidades o sinal de televisão digital. O sinal de televisão é transmitido através de antenas e cabos, por ondas eletromagnéticas cuja velocidade no ar é aproximadamente igual à da luz no vácuo.

a) Um tipo de antena usada na recepção do sinal é a log-periódica, representada na figura abaixo, na qual o comprimento das hastes metálicas de uma extremidade à outra, L, é variável. A maior eficiência de recepção é obtida quando L é cerca de meio comprimento de onda da onda eletromagnética que transmite o sinal no ar (L \thicksim \lambda / 2). Encontre a menor frequência que a antena ilustrada na figura consegue sintonizar de forma eficiente, e marque na figura a haste correspondente.

b) Cabos coaxiais são constituídos por dois condutores separados por um isolante de índice de refração n e constante dielétrica K, relacionados por K = n^2. A velocidade de uma onda eletromagnética no interior do cabo é dada por v = c / n. Qual é o comprimento de onda de uma onda de frequência f = 400\text{ MHz} que se propaga num cabo cujo isolante é o polietileno (K = 2{,}25)?

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a) Como a antena sintoniza com eficiência quando L \sim \lambda/2, a menor frequência corresponde ao maior comprimento de onda, ou seja, à maior haste. Ela é a haste mais à direita na figura, que mede 6 quadrículas de 5\ \text{cm}, isto é, L = 30\ \text{cm}. Na figura, é essa haste que deve ser marcada.

O comprimento de onda é:

\lambda = 2L = 2 \times 30\ \text{cm} = 60\ \text{cm} = 0{,}60\ \text{m}

A onda no ar viaja com velocidade aproximadamente igual à da luz, c = 3\times 10^8\ \text{m/s}. Logo:

f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3\times 10^8}{0{,}60} = 5\times 10^8\ \text{Hz}

A menor frequência é f = 5\times 10^8\ \text{Hz} = 500\ \text{MHz}, correspondente à maior haste (a da extremidade direita, L = 30\ \text{cm}).

b) Do enunciado, K = n^2, então:

n = \sqrt{K} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5

A velocidade da onda no cabo é v = c/n. Com \lambda = v/f:

\lambda = \frac{c}{n f} = \frac{3\times 10^8}{1{,}5 \times 400\times 10^6} = \frac{3\times 10^8}{6\times 10^8} = 0{,}5\ \text{m}

O comprimento de onda no cabo é \lambda = 0{,}5\ \text{m}.

Assuntos: ondas eletromagnéticas, comprimento de onda e frequência, índice de refração.

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