Questão 18 da FUVEST 2026
Uma startup de tecnologia está desenvolvendo um novo aplicativo e observa que o número de usuários está crescendo, em milhares, após t semanas do lançamento, de acordo com a função:
Com isso, a equipe da startup quer saber: qual é o período, em semanas, em que o número de usuários ultrapassa 300 mil?
Note e adote:
log\ 3 \cong 0{,}4771\text{ ; }log\ 5 \cong 0{,}6990\text{ e }log\ 11 \cong 1{,}0414
- AEntre 0 e 1 semana.
- BEntre 1 e 3 semanas.
- CEntre 2 e 4 semanas.
- DEntre 3 e 4 semanas.
- EEntre 4 e 6 semanas.
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Resolução comentada
O número de usuários, em milhares, é M(t)=200\cdot(1{,}1)^t. Ultrapassar 300 mil significa M(t)>300. Como a incógnita está no expoente, usamos logaritmo.
-
Monte a desigualdade: 200\cdot(1{,}1)^t>300, ou seja, (1{,}1)^t>1{,}5.
-
Aplique \log nos dois lados (a base 10 é crescente, então o sentido se mantém): t\cdot\log(1{,}1)>\log(1{,}5).
-
Escreva os logaritmos com os dados fornecidos:
- \log(1{,}1)=\log\frac{11}{10}=\log 11-1=1{,}0414-1=0{,}0414;
- \log(1{,}5)=\log\frac{3}{2}=\log 3-\log 2. Como \log 2=1-\log 5=1-0{,}6990=0{,}3010, temos \log(1{,}5)=0{,}4771-0{,}3010=0{,}1761.
- Então t>\dfrac{0{,}1761}{0{,}0414}\approx 4{,}25.
Assim, o número de usuários passa de 300 mil depois de cerca de 4,25 semanas.
Conferindo: em t=4, (1{,}1)^4=1{,}4641, que dá M\approx 292{,}8 mil, ainda abaixo de 300. Em t=5, (1{,}1)^5=1{,}6105, que dá M\approx 322{,}1 mil, já acima. Logo, o limite é ultrapassado entre as semanas 4 e 5, dentro do intervalo entre 4 e 6 semanas.
Alternativa E.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AEm t=1 há só 220 mil usuários, bem abaixo de 300 mil.
- BEm t=3 há cerca de 266 mil usuários, ainda abaixo de 300 mil.
- CEm t=4 há cerca de 292,8 mil usuários, ainda abaixo de 300 mil.
- DEm t=4 o valor ainda não chegou a 300 mil; o cruzamento ocorre em t\approx4{,}25.
Assuntos: função exponencial, logaritmos, inequação exponencial.
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