Questão 52 da FUVEST 2025

Question

As enchentes ocorridas no Rio Grande do Sul, em maio de 2024, prejudicaram a infraestrutura de comunicação. A população afetada era informada sobre as notícias relativas às enchentes ao sintonizar, por rádio de pilhas, frequências de onda AM, cujo alcance é maior.

Uma onda AM é modelada matematicamente por equações que envolvem a função cosseno, cuja variável independente é o tempo t, que aparece multiplicado pela frequência f da onda.

Como exemplo, pode-se considerar a equação referente ao processo de modulação de uma onda AM:

s(t) = A [1 + k\text{ }m(t)]\text{cos}(2\pi f\text{ }t)\text{ ,}

em que A é a amplitude, f a frequência, k a constante da sensibilidade à amplitude e m(t) o sinal que contém a informação.

Quando a frequência f é multiplicada por 3, o comprimento da onda sofre alteração. Por causa dessa multiplicação, qual transformação ocorre no gráfico da função cosseno original?

A
Expansão vertical.
B
Translação horizontal.
C
Expansão horizontal.
D
Contração horizontal.
E
Contração vertical.

Answer 1

Questão 52 da FUVEST 2025

1ª fase

As enchentes ocorridas no Rio Grande do Sul, em maio de 2024, prejudicaram a infraestrutura de comunicação. A população afetada era informada sobre as notícias relativas às enchentes ao sintonizar, por rádio de pilhas, frequências de onda AM, cujo alcance é maior.

Uma onda AM é modelada matematicamente por equações que envolvem a função cosseno, cuja variável independente é o tempo t, que aparece multiplicado pela frequência f da onda.

Como exemplo, pode-se considerar a equação referente ao processo de modulação de uma onda AM:

s(t) = A [1 + k\text{ }m(t)]\text{cos}(2\pi f\text{ }t)\text{ ,}

em que A é a amplitude, f a frequência, k a constante da sensibilidade à amplitude e m(t) o sinal que contém a informação.

Quando a frequência f é multiplicada por 3, o comprimento da onda sofre alteração. Por causa dessa multiplicação, qual transformação ocorre no gráfico da função cosseno original?

A
Expansão vertical.
B
Translação horizontal.
C
Expansão horizontal.
D
Contração horizontal.
E
Contração vertical.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Na função \cos(2\pi f t), a frequência f multiplica a variável t. Isso mexe no período do gráfico, e não na altura das oscilações.

Período original: T = \dfrac{2\pi}{2\pi f} = \dfrac{1}{f}.
Com a frequência multiplicada por 3, a função vira \cos(2\pi\,(3f)\,t).
Novo período: T' = \dfrac{2\pi}{2\pi \cdot 3f} = \dfrac{1}{3f} = \dfrac{T}{3}.

O período ficou 3 vezes menor: o gráfico faz três ciclos completos no intervalo em que antes fazia um. Em outras palavras, o gráfico é comprimido ao longo do eixo t, que é o eixo horizontal.

Por regra geral, g(t)=\cos(ct) com c>1 é uma contração horizontal por fator c do gráfico de \cos t. Já a amplitude, que é o que determina a altura, depende de A e permanece a mesma, então não há mudança vertical. Também não há deslocamento (translação), pois não foi somada nenhuma constante ao argumento do cosseno.

Portanto, multiplicar f por 3 provoca uma contração horizontal.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA expansão vertical mudaria a amplitude, que depende de A e não de f.
BA translação horizontal exigiria somar uma constante ao argumento (mudança de fase), o que não ocorre.
CA expansão horizontal aumentaria o período, mas o período diminui para T/3.
EA contração vertical reduziria a amplitude, que não é afetada por f.

Assuntos: função cosseno, transformações de gráficos, período de função trigonométrica.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova