Questão F06 da 2ª fase da FUVEST 2024

2º dia · Física

O fenômeno da aurora polar, há muito tempo conhecido nos hemisférios norte e sul do planeta Terra, caracteriza-se por um brilho observado no céu em decorrência de colisões entre os átomos da atmosfera, predominantemente oxigênio e nitrogênio, e as partículas (prótons e elétrons) lançadas por erupções solares e canalizadas pelo campo magnético terrestre.

a) Determine a velocidade (em m/s) de um próton com energia cinética de 3{,}2\times 10^{-13}\text{ J}.

b) Considerando agora elétrons com velocidade de 1{,}6\times 10^6\text{ m/s} e que descrevam órbitas circulares sob ação do campo magnético terrestre, cuja intensidade é de 10^{-4}\text{ T}, calcule o módulo da força magnética atuando sobre cada elétron.

As diferentes cores observadas na aurora devem-se à emissão de fótons em processos de desexcitação de átomos presentes nas diferentes camadas da atmosfera. As cores mais comuns da luz associada a esses fótons são a verde e a vermelha, devido à predominância de oxigênio e nitrogênio nas altitudes de 200 km e 100 km, respectivamente.

c) Calcule (em joules) a variação da energia de um átomo quando este emite um fóton da cor verde.

Note e adote:
1\text{eV} = 1{,}6\text{x}10^{-19}\text{J}; massa do próton = 1{,}6\times 10^{-27}\text{ kg}; massa do elétron = 9\times 10^{-31}\text{ kg}; carga do elétron = 1{,}6\times 10^{-19}\text{ C} Comprimento de onda da luz verde: \lambda = 500\text{ nm} Energia de um fóton de frequência f: E = hf, onde h = 6\times 10^{-34}\text{ J.s} Velocidade da luz no vácuo: 3\times 10^8\text{ m/s} Um processo de desexcitação atômica envolve a passagem de um elétron de um nível atômico de energia mais alta para outro de energia mais baixa.

Note e adote:

1\text{eV} = 1{,}6\text{x}10^{-19}\text{J}; massa do próton = 1{,}6\times 10^{-27}\text{ kg}; massa do elétron = 9\times 10^{-31}\text{ kg}; carga do elétron = 1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}
Comprimento de onda da luz verde: \lambda = 500\text{ nm}
Energia de um fóton de frequência f: E = hf, onde h = 6\times 10^{-34}\text{ J.s}
Velocidade da luz no vácuo: 3\times 10^8\text{ m/s}
Um processo de desexcitação atômica envolve a passagem de um elétron de um nível atômico de energia mais alta para outro de energia mais baixa.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) A velocidade do próton relaciona-se com a energia cinética por meio da expressão v = (2K/m)^{1/2}. Substituindo os valores: K = 2 \boldsymbol{\bm{\times}} \text{MeV} = 2 \boldsymbol{\bm{\times}} 1{,}6 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{-19+6} = 3{,}2 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{-13}, logo 2K/m = (6{,}4/1{,}6) \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{-13+27} = 4 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{14} e encontramos v = 2 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^7\text{ m/s}.

b) Como a órbita é circular, necessariamente a velocidade do elétron é perpendicular ao campo magnético. Nesta situação e sendo v a velocidade do elétron e B o campo magnético, a força magnética será dada por F = e \boldsymbol{\bm{\times}} v \boldsymbol{\bm{\times}} B, logo F = (1{,}6 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{-19}) \boldsymbol{\bm{\times}} (1{,}6 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^6)(10^{-4}) = 2{,}56 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{-17}\text{ N}.

c) A variação de energia é dada por \Delta E = hc/\lambda = 6 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{-34} \boldsymbol{\bm{\times}} 3 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^8 / 5 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{-7} = 3{,}6 \boldsymbol{\bm{\times}} 10^{-19}\text{ J}.

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