Questão 19 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2011
Os modelos permitem-nos fazer previsões sobre situações reais, sendo, em geral, simplificações, válidas em certas condições, de questões complexas. Por exemplo, num jogo de futebol, a trajetória da bola, após o chute, e o débito cardíaco dos jogadores podem ser descritos por modelos.
- Trajetória da bola: quando se despreza a resistência do ar, a trajetória da bola chutada, sob a ação da gravidade (g = 10\text{ m/s}^2), é dada por h = d\text{ tg}\theta - 5(d^2/v_0^2)(1 + \text{tg}^2\theta), em que v_0 é a velocidade escalar inicial (em m/s), \theta é o ângulo de elevação (em radianos) e h é a altura (em m) da bola a uma distância d (em m), do local do chute, conforme figura abaixo.
- Débito cardíaco (DC): está relacionado ao volume sistólico VS (volume de sangue bombeado a cada batimento) e à frequência cardíaca FC pela fórmula \text{DC} = \text{VS} \times \text{FC}.
Utilize esses modelos para responder às seguintes questões:
a) Durante uma partida, um jogador de futebol quer fazer um passe para um companheiro a 32 m de distância. Seu chute produz uma velocidade inicial na bola de 72 km/h. Calcule os valores de \text{tg}\theta necessários para que o passe caia exatamente nos pés do companheiro.
b) Dois jogadores, A e B, correndo moderadamente pelo campo, têm frequência cardíaca de 120 batimentos por minuto. O jogador A tem o volume sistólico igual a 4/5 do volume sistólico do jogador B. Os dois passam a correr mais rapidamente. A frequência cardíaca do jogador B eleva-se para 150 batimentos por minuto. Para quanto subirá a frequência cardíaca do jogador A se a variação no débito cardíaco (\text{DC}_{\text{final}} - \text{DC}_{\text{inicial}}) de ambos for a mesma?
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Resolução comentada
a) Para o passe cair nos pés do companheiro, a bola deve voltar ao chão: h=0 quando d=32\ \text{m}. A velocidade inicial é v_0=72\ \text{km/h}=20\ \text{m/s}, logo v_0^2=400\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Substituindo na equação da trajetória, com x=\text{tg}\,\theta:
- Calculando o coeficiente: 5\cdot 1024/400=12{,}8.
- Então 0=32x-12{,}8-12{,}8x^2, ou seja, 12{,}8x^2-32x+12{,}8=0.
- Dividindo por 3{,}2: 4x^2-10x+4=0, ou 2x^2-5x+2=0.
- \Delta=25-16=9, então x=\dfrac{5\pm3}{4}, o que dá x=2 ou x=\tfrac12.
Há dois ângulos possíveis: um chute mais rasteiro e outro mais alto, ambos com alcance de 32 m.
\text{tg}\,\theta=0{,}5 ou \text{tg}\,\theta=2
b) Seja VS_B=V. Então VS_A=\tfrac45V.
Jogador B: DC_{inicial}=120V e DC_{final}=150V, logo a variação é \Delta DC_B=30V.
Jogador A: DC_{inicial}=\tfrac45V\cdot120=96V. Chamando de f a nova frequência, DC_{final}=\tfrac45V\,f.
A variação de A deve ser igual à de B:
A frequência de A sobe de 120 para 157,5 batimentos por minuto (o volume sistólico é suposto constante em cada jogador).
157{,}5 batimentos por minuto
Assuntos: lançamento oblíquo, equação do segundo grau, débito cardíaco.
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