Questão 17 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2011

2º dia · Interdisciplinar

As sensações provocadas nos passageiros, dentro de um carrinho, durante o trajeto em uma montanha-russa, podem ser associadas a determinadas transformações históricas, como se observa no texto:

A primeira é a da ascensão contínua, metódica e persistente. Essa fase pode representar o período que vai, mais ou menos, do século XVI até meados do século XIX. A segunda é a fase em que, num repente, nos precipitamos numa queda vertiginosa, perdendo as referências do espaço, das circunstâncias que nos cercam e até o controle das faculdades conscientes. Isso aconteceu por volta de 1870. Nunca é demais lembrar que esse foi o momento no qual surgiram os parques de diversões e sua mais espetacular atração, a montanha-russa, é claro. A terceira fase, na nossa imagem da montanha-russa, é a do “loop”, a síncope final e definitiva, o clímax da aceleração precipitada. A escala das mudanças desencadeadas, a partir desse momento, é de uma tal magnitude que faz os dois momentos anteriores parecerem projeções em câmara lenta.

O recorte contém o crédito “N. Sevcenko, No loop da montanha-russa, 2009. Adaptado.”, com o título da obra em negrito, seguido dos itens: “a) Explique duas das fases históricas mencionadas no texto.” e “b) Na montanha-russa esquematizada abaixo, um motor leva o carrinho até o ponto 1. Desse ponto, ele parte, saindo do repouso, em direção ao ponto 2, localizado em um trecho retilíneo, para percorrer o resto do trajeto sob a ação da gravidade ().” Abaixo, o esquema da montanha-russa apresenta três fases indicadas ao longo de uma base horizontal: “fase 1”, subida até o ponto 1, situado no topo de uma elevação de 20 m; “fase 2”, descida passando pelo ponto 2 em um trecho retilíneo, com um triângulo tracejado indicando desnível vertical de 10 m e deslocamento horizontal de 3 m; “fase 3”, um loop circular de raio 8 m, tangente à base, com o ponto 3 no topo e um segmento de raio traçado do centro até a circunferência.

Desprezando a resistência do ar e as forças de atrito, calcule

  1. o módulo da aceleração tangencial do carrinho no ponto 2.
  2. a velocidade escalar do carrinho no ponto 3, dentro do loop.
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Resolução comentada

a) O texto compara a história do mundo moderno a uma montanha-russa, e podemos explicar duas fases.

Fase 1 (séc. XVI até meados do séc. XIX): é a "ascensão contínua e metódica". Corresponde à consolidação do mundo moderno e capitalista, com as grandes navegações, a expansão colonial e o mercantilismo. Inclui também a Revolução Científica, o Iluminismo e a Revolução Industrial, ou seja, um progresso gradual e acumulativo da ciência, da técnica e da economia europeia.

Fase 2 (por volta de 1870): é a "queda vertiginosa". Corresponde à Segunda Revolução Industrial, com eletricidade, aço, petróleo, química, telégrafo, ferrovias e navios a vapor. Vêm com ela a urbanização acelerada, a produção em massa e o imperialismo neocolonial. Tudo isso encurtou distâncias e acelerou o tempo, desorientando as pessoas, que perderam suas referências tradicionais. Os parques de diversões e a montanha-russa nascem nesse contexto de aceleração.

Resposta: fase 1 = ascensão da modernidade (expansão marítima, ciência, Revolução Industrial); fase 2 = aceleração da Segunda Revolução Industrial por volta de 1870, com imperialismo e urbanização.

b) Sem atrito, só o peso realiza trabalho. Vamos aos dois cálculos.

1. Aceleração tangencial no ponto 2.

O trecho é retilíneo, com desnível de 10 m e deslocamento horizontal de 3 m. Então a hipotenusa é:

\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}

O ângulo \theta da rampa com a horizontal tem:

\sen\theta=\frac{10}{\sqrt{109}}

A aceleração tangencial é a componente de g ao longo da rampa:

a_t=g\,\sen\theta=10\cdot\frac{10}{\sqrt{109}}=\frac{100}{10{,}44}\approx 9{,}6\ \text{m/s}^2

2. Velocidade no ponto 3.

O ponto 1 está a 20 m de altura. O ponto 3 está no topo do loop, a 2R=16 m de altura. Pela conservação da energia mecânica, partindo do repouso:

mg\cdot 20=mg\cdot 16+\frac{mv^2}{2}
v^2=2g(20-16)=2\cdot10\cdot4=80
v=\sqrt{80}\approx 8{,}9\ \text{m/s}

Verificação: para o carrinho não se soltar no topo, é preciso v^2\ge gR=80. Aqui v^2=80, exatamente o limite. Portanto o carrinho passa pelo ponto 3 com a normal nula.

Respostas: a_t\approx 9{,}6\ \text{m/s}^2 e v=4\sqrt5\approx 8{,}9\ \text{m/s}.

Assuntos: conservação da energia mecânica, plano inclinado, segunda revolução industrial.

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